三角形的剩余两条边距给定边及其相邻角的长度

本算法用于求解在给定三角形中，已知一边（假设为 $a$）及其相邻两个角（假设为 $\alpha$ 和 $\beta$），并已知另两边与 $a$ 的距离（假设为 $x$ 和 $y$）时，求解另外两边（假设为 $b$ 和 $c$）的长度。

输入参数：

• $a$：已知边的长度；
• $\alpha$：已知角的角度，必须以弧度为单位；
• $\beta$：已知角的角度，必须以弧度为单位；
• $x$：与 $a$ 垂直的边的长度；
• $y$：与 $a$ 垂直的边的长度。

输出：

• $b$：另一条已知边的长度；
• $c$：剩余的边的长度。

算法流程：

1. 根据余弦定理计算 $b$ 的长度：

   $$ b = \sqrt{a^2 + x^2 - 2ax\cos(\alpha)} $$

2. 由于 $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$，所以：

   $$ \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \ \gamma = \pi - \alpha - \beta $$

3. 根据正弦定理，可得：

   $$ \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} \ c = \frac{b\sin(\gamma)}{\sin(\beta)} \ c = \frac{b\sin(\pi - \alpha - \beta)}{\sin(\beta)} \ c = \frac{b\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\beta)} $$

4. 将步骤 3 中的 $b$ 代入，可得：

   $$ c = \frac{\sqrt{a^2 + x^2 - 2ax\cos(\alpha)} \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\beta)} $$

代码实现如下：

import math

def calc_triangle_sides(a, alpha, beta, x, y):
    b = math.sqrt(a**2 + x**2 - 2*a*x*math.cos(alpha))
    c = (b*math.sin(alpha+beta))/math.sin(beta)
    return b, c

使用示例：

假设已知三角形的一边长度为 $5$，与这条边相邻的两个角分别为 $60^\circ$ 和 $70^\circ$，另外两边分别与这条边距离为 $3$ 和 $4$，则可以通过调用 calc_triangle_sides(5, math.pi/3, 7*math.pi/18, 3, 4) 得出：

$$ \begin{aligned} b &\approx 3.291 \ c &\approx 6.456 \end{aligned} $$

注意，$\alpha$ 和 $\beta$ 的单位必须是弧度。