长度为N且K个相邻的置1的二进制字符串数

问题描述

假设需要生成长度为 $N$ 的二进制字符串，其中有 $K$ 个相邻的位为 $1$，求满足要求的字符串的个数。

解决方法

根据问题描述，可以将问题转化为在 $N-K$ 个位置中插入 $K$ 个 $1$，使得任意两个 $1$ 相邻的方案数。

方法一：暴力枚举

首先可以考虑暴力枚举所有在 $N-K$ 个位置中插入 $K$ 个 $1$ 的方案。可以用 $O(C_{N-K}^K)$ 的时间复杂度进行枚举，逐个检查是否满足相邻 $1$ 的个数为 $K$。

int cnt = 0;
for (int i = 0; i < ((1 << N) - 1); i++) {
    int s = 0, t = N - 2;
    for (int j = 0; j < N; j++) {
        if (i & (1 << j)) {
            s++;
            if (s == K) {
                cnt++;
            } else if (s > K) {
                break;
            }
        } else {
            s = 0;
        }
        t--;
    }
    if (t < K - 1) {
        break;
    }
}

时间复杂度为 $O(C_{N-K}^K N)$，当 $K$ 较小时，可以接受。

方法二：动态规划

由于相邻的 $1$ 必须满足间隔为 $1$，因此在插入 $K$ 个 $1$ 的过程中，相邻的两个 $1$ 之间至少有一个 $0$。因此可以考虑用动态规划求解。

令 $dp[i][j]$ 表示将 $i$ 个位置中插入 $j$ 个 $1$ 所有包含 $i$ 号位置的字符串的方案数。考虑 $i$ 号位置是 $0$ 还是 $1$，如果为 $0$，则 $dp[i][j] = dp[i-1][j]$；如果为 $1$，则 $j$ 可以在 $i-1$ 号位置之前的任意 $j-1$ 个位置中插入，因此 $dp[i][j] = \sum_{k=j-1}^{i-1} dp[k][j-1]$。

int dp[N+1][K+1];
dp[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
    dp[i][0] = 1;
    for (int j = 1; j <= K; j++) {
        dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1];
    }
}
int cnt = dp[N][K];

时间复杂度为 $O(NK)$，可以在较短时间内求解。

总结

本文介绍了两种方法求解长度为 $N$ 且 $K$ 个相邻的置 $1$ 的二进制字符串数的问题。暴力枚举法可以用来解决 $K$ 较小时的情况，时间复杂度为 $O(C_{N-K}^K N)$，而动态规划法可以处理较大的 $K$，时间复杂度为 $O(NK)$。