N 个字符串中最长的公共子序列

在计算机科学中，最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）问题是在多个字符串序列中找到一些最长的子序列，这些子序列不需要在原序列中处于相邻位置，但需要保持相对顺序一致。

例如，对于字符串序列 abcdef 和 ace，它们的最长公共子序列为 ace，长度为 3。

本文将介绍解决 N 个字符串中最长公共子序列问题的算法及其实现。

动态规划算法

在解决 LCS 问题时，一个常用的算法是动态规划算法。该算法将问题拆分为一系列的子问题，通过计算子问题的解决方案，最终得出原问题的解决方案。

假设我们有 N 个字符串 s1, s2, ..., sN，我们可以将每个字符串拆分成一个字符序列 S1, S2, ..., SN，其中 Si 表示第 i 个字符串的字符序列。

定义 LCS[i][j] 为字符序列 S1, S2, ..., SN 中以 S1[i] 和 S2[j] 结尾的最长公共子序列的长度。则，最终求解的 LCS 即为 LCS[len(S1)][len(S2)][...][len(SN)]。

根据该定义，我们可以得出 LCS 的递推式：

• 若 S1[i] == S2[j] == ... == SN[k]，则 LCS[i][j][...][k] = LCS[i-1][j-1][...][k-1] + 1。
• 若 S1[i] != S2[j] 或 S1[i] != S3[k] 或 ...，则 LCS[i][j][...][k] = Max(LCS[i-1][j][...][k], LCS[i][j-1][...][k], ..., LCS[i][j][...][k-1])。

通过计算所有 LCS[i][j][...][k]，即可得出最长公共子序列的长度。

代码实现

以下是 Python 代码实现：

def longest_common_subsequence(strings):
    # 将字符串拆分为字符序列
    sequences = [list(s) for s in strings]
    
    # 初始化 LCS 表
    n = len(strings)
    m = [len(s) for s in sequences]
    lcs = [[0] * m[n-1] for _ in range(m[0])]
    
    # 计算 LCS 表
    for i in range(m[0]):
        for j in range(m[n-1]):
            if sequences[0][i] == sequences[n-1][j]:
                lcs[i][j] = lcs[i-1][j-1] + 1
            else:
                lcs[i][j] = max([lcs[row][j] for row in range(i)] + [lcs[i][col] for col in range(j)])
    
    # 重构最长公共子序列
    i, j = m[0]-1, m[n-1]-1
    subsequence = []
    while i >= 0 and j >= 0:
        if sequences[0][i] == sequences[n-1][j]:
            subsequence.append(sequences[0][i])
            i -= 1
            j -= 1
        elif lcs[i-1][j] > lcs[i][j-1]:
            i -= 1
        else:
            j -= 1
    
    return subsequence[::-1]

总结

通过动态规划算法，我们可以高效地解决 N 个字符串中最长公共子序列问题。该算法的时间复杂度为 O(len(S1) * len(S2) * ... * len(SN))，空间复杂度为 O(len(S1) * len(S2))。

我们可以将该算法应用于文档相似度、代码相似度等场景中，从而提升应用的准确性和效率。