最长公共子序列

最长公共子序列（Longest Common Subsequence，缩写为 LCS）是指在两个或多个序列中，以相同顺序出现，但不要求连续的子序列，且要求子序列在各序列中的位置顺序相同的情况下，所包含元素最多。

动态规划

求解最长公共子序列问题最常用的算法是动态规划。

假设给定两个字符串 S1 和 S2，分别求出它们的最长公共子序列。首先，定义一个二维的 DP 数组 dp。其中，dp[i][j] 表示 S1[0…i] 和 S2[0…j] 的最长公共子序列长度。

• 如果 S1[i] == S2[j]，那么 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1；
• 否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

最长公共子序列的长度即为 dp[len(S1)-1][len(S2)-1]。

代码实现

def lcs(s1: str, s2: str) -> int:
    len1, len2 = len(s1), len(s2)
    dp = [[0] * (len2 + 1) for _ in range(len1 + 1)]

    for i in range(1, len1 + 1):
        for j in range(1, len2 + 1):
            if s1[i - 1] == s2[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j])

    return dp[-1][-1]

示例

s1 = "ABCD"
s2 = "ACDF"
print(lcs(s1, s2))  # 3

上面的示例中，S1 和 S2 的最长公共子序列为 ACD。