如何在直角三角形中找到一个角？

三角形是由三条线相交形成的三边封闭多边形。在日常生活中经常遇到。它是几何的基本形状之一。它有三个边、三个角和三个顶点。直角三角形是其中一个角度始终等于 90° 的三角形。毕达哥拉斯定理是为直角三角形推导出来的，它指出斜边（最长边）的平方等于底边和垂边的平方和。

给定直角三角形至少两条边的长度，我们可以找到直角三角形任意角的值。为此，我们使用各种三角函数，如正弦、余弦、正切、余切、秒和余秒。这些有助于我们将直角三角形的角度与其边联系起来。

特性

• 三个顶点之间有一个直角顶点
• 与直角顶点相对的一侧称为斜边。
• 边的长度遵循 Pythororus 定理，该定理指出

hypotenuse² = base² + altitude²

• 斜边是直角三角形的最长边。
• 直角以外的角都是锐角，因为该值小于 90 ^o

三角函数

ABC是直角三角形，∠B为直角

• cosθ：这给出了直角三角形的底边与斜边的比率。

cosθ = base / hypotenuse

• sinθ：这给出了直角三角形的斜边与高度的比率。

sinθ = altitude / hypotenuse

• tanθ：直角三角形底边与高度的比值。

tanθ = altitude / base

• cotθ：它是 tanθ 的倒数
• secθ：它是 cosθ 的倒数
• cosecθ：它是 sinθ 的倒数

为了找到直角三角形的角度，我们可以取三角形给定边的比率的三角倒数。

例子：

If sinθ = x, then we can write

θ = sin^-1x.

This returns the angle for which the sine value of the angle is x.

Similarly, there exists cos^-1θ, tan^-1θ, cot^-1θ, sec^-1θ, and cosec^-1θ

示例问题

问题 1. 给定一个直角三角形，底边等于 10 厘米，斜边等于 20 厘米。求底角的值。

解决方案：

Given, Base = 10cm

Hypotenuse = 20cm

Let, the value of the base angle be θ. We can write

cosθ = base / hypotenuse = 10/20 = 1/2

θ = cos^-1(1/2) = 60^o

Thus, the value of base angle is 60^o.

问题 2. 求直角三角形的角值，假设其中一个锐角是另一个锐角的两倍。

解决方案：

Since we know the sum of all the three angles in a triangle is 180^o.

Since one of the angles is 90^o and one of the acute angles is twice the other, we can consider them as θ and 2θ.

So, we can write

90^o + θ + 2θ = 180^o

3θ = 180^o – 90^o

3θ = 90^o

θ = 90^o/3 = 30^o

2θ = 2 × 30^o = 60^o

So, the angles are 30^o, 60^o, and 90^o.

问题 3. 假设梯子的底部距离墙壁 3m，求长度为 5m 的梯子的仰角值。

解决方案：

Since the ladder acts as a hypotenuse of a right angles triangle and base distance equals 3m, we can write

Hypotenuse = 5m

Base = 3m

Let the angle of elevation be θ. So, we can write

cosθ = Base / Hypotenuse = 3/5

θ = cos^-1(3/5)

θ = 53^o

Thus, the value of the angle of elevation is 53^o.

问题 4. 求斜边的值，假设高度为 8m，底角为 30 ^° 。

解决方案：

Given, the base angle is equal to 30^o and altitude equals 8m, we can apply the sine function to find the length of the hypotenuse.

sin30^o = altitude / hypotenuse

hypotenuse = altitude / sin30^o

Since the value of sin30^o equals 1/2, we can write

hypotenuse = altitude / (1/2) = 2 × altitude

Thus, hypotenuse = 2 × 8 = 16m

Thus, the length of the hypotenuse is equal to 16m.