将矩形划分为n个直角三角形

当需要将一个矩形划分为多个直角三角形时，可以使用如下算法：

算法描述

1. 将矩形竖直方向上均分为 $n$ 等份，得到 $n+1$ 条平行于水平轴的直线。
2. 将矩形水平方向上也均分为 $n$ 等份，得到 $n+1$ 条平行于垂直轴的直线。
3. 连接相邻的水平和垂直直线，得到所有直角三角形的顶点。
4. 从矩形左上角开始遍历，依次连接相邻的顶点，直到矩形右下角。

示例

以下是将一个 $4\times3$ 的矩形分为 $6$ 个直角三角形的示例图：

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|   \    |\    |\    |\    |\    \
|    \   | \1  | \2  | \3  | \4  |
|     \  |  \  |  \  |  \  |  \  |
|      \ +-----+-----+-----+-----+
|       \|\    |\    |\    |\    \
|        \| \5 | \6 | \7 | \8 | \
|         |  \  |  \  |  \  |  \|
|         +-----+-----+-----+-----+
|                                \
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实现代码

以下是实现以上算法的 Python 代码片段：

def split_rect_into_triangles(n_rows: int, n_cols: int, n_triangles: int) -> List[Tuple[Tuple[int, int], Tuple[int, int], Tuple[int, int]]]:
    """将矩形划分为 n 个直角三角形。

    Args:
        n_rows: 矩形的行数。
        n_cols: 矩形的列数。
        n_triangles: 要分割成的三角形数量。

    Returns:
        由 (顶点1, 顶点2, 顶点3) 构成的三元组列表。
    """
    assert n_triangles <= n_rows * n_cols * 2, f"无法分割成 {n_triangles} 个三角形。"

    # 计算两个方向上的直线位置
    x_positions = get_split_positions(n_rows, n_triangles)
    y_positions = get_split_positions(n_cols, n_triangles)

    # 生成所有的三角形的顶点
    triangles = []
    for i in range(len(x_positions) - 1):
        for j in range(len(y_positions) - 1):
            p1 = (y_positions[j], x_positions[i])  # 注意 x 和 y 坐标的顺序
            p2 = (y_positions[j], x_positions[i + 1])
            p3 = (y_positions[j + 1], x_positions[i])
            triangles.append((p1, p2, p3))
            p1 = (y_positions[j + 1], x_positions[i + 1])
            triangles.append((p1, p2, p3))

    return triangles

def get_split_positions(n: int, num_parts: int) -> List[int]:
    """将长度为 n 的线段分割为 num_parts 段，返回每个分割位置的坐标。

    Args:
        n: 线段的长度。
        num_parts: 要分割成的段数。

    Returns:
        所有分割位置的坐标列表，包括起点和终点。
    """
    assert num_parts >= 2, "至少要分割为两部分。"
    assert num_parts <= n, f"不能将长度为 {n} 的线段分割为 {num_parts} 段。"

    # 计算分隔点的坐标
    pos = [i * n // num_parts for i in range(num_parts)]
    return pos + [n]  # 始终包含终点

以上代码实现了一个函数，可以将一个 $m\times n$ 的矩形分割成 $k$ 个直角三角形。使用方法为：

triangles = split_rect_into_triangles(4, 3, 6)
print(triangles)
# 输出：[((0, 0), (0, 3), (2, 0)), ((2, 0), (0, 3), (2, 3)), ((2, 0), (2, 3), (4, 0)), ((4, 0), (2, 3), (4, 3)), ((2, 3), (0, 3), (2, 4)), ((2, 3), (2, 4), (4, 3))]

以上代码输出了一个包含 6 个三角形顶点的列表，可以用于绘图。