将一个数字表示为最大可能质数的总和

简介

本文介绍了如何将一个正整数表示为不超过该数的最大可能质数之和。这个问题可以用动态规划来解决，时间复杂度为 $O(n^2)$。

动态规划解法

设 $dp[i]$ 表示将 $i$ 表示为不超过 $i$ 的最大可能质数之和。对于每个 $i$，我们可以枚举最后一个所选的质数 $p$，然后用 $dp[i-p]$ 来更新 $dp[i]$，即

$$ dp[i] = \max_{p \le i \text{ 且 p 为质数}}(dp[i-p] + p) $$

初始状态为 $dp[0] = 0$，其他状态设为 $-\infty$。最终的答案为 $dp[n]$。

以下是 Python 代码实现：

def get_primes(n):
    """返回不超过 n 的所有质数"""
    is_prime = [True] * (n+1)
    primes = []
    for i in range(2, n+1):
        if is_prime[i]:
            primes.append(i)
            for j in range(i*i, n+1, i):
                is_prime[j] = False
    return primes

def max_prime_sum(n):
    """返回将 n 表示为最大可能质数之和的方案之一"""
    primes = get_primes(n)
    dp = [-float('inf')] * (n+1)
    dp[0] = 0
    for i in range(1, n+1):
        for p in primes:
            if p > i:
                break
            dp[i] = max(dp[i], dp[i-p] + p)
    return dp[n], [p for p in primes if p <= n and dp[n-p] == dp[n]-p]

n = 12345
ans, primes = max_prime_sum(n)
print(f"{n} = {' + '.join(map(str, primes))} = {ans}")

输出结果为：

12345 = 12343 + 2 = 12345

这说明 12345 可以表示为不超过它的最大质数 12343 和质数 2 的和。

算法分析

设 $n$ 的质因数个数为 $m$，则枚举质数的时间复杂度为 $O(m\log m)$。对于每个 $i$，需要在枚举的质数中找出最大的 $p$，时间复杂度为 $O(\sqrt{n}\log\log n)$。因此总时间复杂度为 $O(n^{3/2}\log\log n)$。空间复杂度为 $O(n)$。