圆心到弦的最短距离

简介

在二维平面内，给定圆心 $(c_x, c_y)$ 和圆上一点 $(p_x, p_y)$，以及圆上任意一点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，如何求取两点构成的线段所对应的弦与圆心的最短距离呢？

首先我们需要明确，圆心到弦的最短距离是垂线段，而垂线段必定垂直于弦，为了方便计算，我们可以将垂线段另一端点设为圆心 $(c_x, c_y)$ 所在的坐标。

因此，问题转化为：给定一个直线段，求取它与圆的交点，进而计算得到圆心到该直线段的垂线段长度。

求解思路

假设直线段所在直线的一般式方程为 $Ax + By + C = 0$，则该直线段的两点式方程可以表示为 $y = kx + b$，其中 $k$ 即为斜率。

由于直线段的斜率与圆的位置关系较为复杂，我们可以将直线段所在直线沿 x 轴或 y 轴旋转，使直线段变为水平或竖直的状态，并将圆做相应的旋转变换，这样就方便计算圆与线段的交点。

以将直线段沿 x 轴正方向旋转为例，设直线段两点为 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，旋转角度为 $\theta$，则旋转后的直线段变为 $(x_1 \cos\theta + y_1 \sin\theta, -x_1 \sin\theta + y_1 \cos\theta)$ 和 $(x_2 \cos\theta + y_2 \sin\theta, -x_2 \sin\theta + y_2 \cos\theta)$，圆心变为 $(c_x \cos\theta + c_y \sin\theta, -c_x \sin\theta + c_y \cos\theta)$，圆半径不变。

在旋转后坐标系中，直线段所在直线的方程可以表示为 $-y = k(x - x_1 \cos\theta - y_1 \sin\theta) + y_1 \cos\theta - x_1 \sin\theta$，即 $Ax + By + C = 0$ 的系数为 $A = -k$，$B = 1$，$C = y_1 \cos\theta - x_1 \sin\theta - k(x_1 \cos\theta + y_1 \sin\theta)$。

圆心到直线段的距离即为圆心到直线的垂线段长度，而垂线段长度可以通过计算圆心到直线的交点得到。圆心到直线的距离为 $\frac{|\pm Ac_x + \pm Bc_y + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$（正负号根据 A、B 的符号确定），交点为 $\left(\frac{B(Bc_x - Ac_y) - AC}{A^2 + B^2}, \frac{A(Ac_y - Bc_x) - BC}{A^2 + B^2}\right)$。

将交点通过逆旋转变换回原先坐标系即可得到圆心到直线段的垂线段长度。

代码实现

下面给出一个简单的 Python 实现：

import math

def distance(c_x:float, c_y:float, p_x:float, p_y:float, x1:float, y1:float, x2:float, y2:float) -> float:
    # 计算旋转角度
    dx = x2 - x1
    dy = y2 - y1
    theta = math.atan2(dy, dx)
    
    # 将角度限制在 [0, pi/2] 范围内，方便计算
    if theta < 0:
        theta += math.pi
        
    # 旋转直线段和圆
    cos_theta = math.cos(theta)
    sin_theta = math.sin(theta)
    x1_rot = x1 * cos_theta + y1 * sin_theta
    y1_rot = -x1 * sin_theta + y1 * cos_theta
    x2_rot = x2 * cos_theta + y2 * sin_theta
    y2_rot = -x2 * sin_theta + y2 * cos_theta
    c_x_rot = c_x * cos_theta + c_y * sin_theta
    c_y_rot = -c_x * sin_theta + c_y * cos_theta
    p_x_rot = p_x * cos_theta + p_y * sin_theta
    p_y_rot = -p_x * sin_theta + p_y * cos_theta
    
    # 计算直线参数
    k = (y2 - y1) / (x2 - x1)
    A = -k
    B = 1
    C = y1_rot - k * x1_rot
    
    # 计算距离和交点
    d = abs(A * c_x_rot + B * c_y_rot + C) / math.sqrt(A * A + B * B)
    x0_rot = (B * (B * c_x_rot - A * c_y_rot) - A * C) / (A * A + B * B)
    y0_rot = (A * (A * c_y_rot - B * c_x_rot) - B * C) / (A * A + B * B)
    
    # 逆旋转回原先坐标系
    x0 = x0_rot * cos_theta - y0_rot * sin_theta
    y0 = x0_rot * sin_theta + y0_rot * cos_theta
    
    return d

代码中使用了 Python 的类型注解和 math 模块的三角函数和平方根函数，可以较为方便地进行调试和拓展。

总结

圆心到弦的最短距离是一个经典的几何问题，在计算机图形学和计算几何学中有着广泛的应用。本文介绍了一种通过旋转坐标系的方法计算圆心到直线段垂线段长度的方法，给出了 Python 实现代码。读者可以基于此思路进行实际的应用开发。