计算正数的有序对，使它们的和为S，异或为K

在计算机科学中，经常需要在有一组数据的前提下，查找其中有序对的数量或者某些有序对的具体值。本文将针对这一问题，提供一种解决方案。

问题背景

给定一个正整数 $S$，以及一个非负整数 $K$，请你计算出有多少对 $(i, j)$ 满足 $1 \leq i < j \leq S$，并且满足 $i + j = S$ 且 $i \oplus j = K$。其中 $\oplus$ 表示异或运算。

解决方案

我们可以枚举 $i$ 的值，然后计算出 $j$ 的值以及它们的异或和。如果 $i+j=S$ 且 $i \oplus j = K$，那么有序对 $(i,j)$ 就是符合要求的。这里使用哈希表来记录 $j$ 的值以及 $j$ 出现的次数，方便后续的查询。

def count_pairs(S, K):
    count = 0
    j_dict = {}  # 记录 j 值出现的次数
    for i in range(1, S):
        j = S - i
        xor = i ^ j
        if j > i and xor == K:
            count += 1
        if j not in j_dict:
            j_dict[j] = 1
        else:
            j_dict[j] += 1
    for i in range(1, S):
        j = S - i
        xor = i ^ j
        if j < i or xor != K:
            continue
        if j in j_dict:
            count += j_dict[j]
    return count

以上是 Python 实现的代码。时间复杂度为 $O(S)$，空间复杂度为 $O(S)$。

总结

通过本文，我们了解了如何解决计算正数的有序对，使它们的和为 $S$，异或为 $K$ 的问题。这个问题的时间复杂度已经达到最优解，但是空间复杂度还可以继续优化。可以使用双指针的方法，将空间复杂度优化为 $O(1)$。