资质 | GATE CS 1998 | 问题 24

该问题是 GATE 计算机科学考试 1998 年的一道问题，考察了程序员关于数据结构的理解和应用。本题型常常作为面试题，因此相较于其他考点，考生需要更多的细节和实现经验。

题目描述

假设有一个队列，支持两个主要操作：enQueue（向队列中添加一个元素）和 deQueue（从队列中删除一个元素）。我们可以进行 n 次操作，其中每次操作都对队列进行以上两个操作之一。给定 n， 以及每次操作的概率分别为 p1 和 p2，其中 p1 表示 enQueue 操作的概率，p2 表示 deQueue 操作的概率。请问，在最终队列中留下前 k 个元素的概率是多少？

解题思路

本问题是一道概率问题，需要我们使用数学方法进行求解。我们可以考虑使用递归方式去解决问题。具体步骤如下：

1. 假设当前队列中有 m 个元素，已经留下了 k 个元素，那么需要执行的次数是 n = m-k。
2. 当 n = 0 时，队列中的元素已经全部被操作过了，返回一个布尔值，表示队列中留下前 k 个元素的概率。
3. 当 n > 0 时，有两种情况，即进行 enQueue 或 deQueue 操作。根据题意，我们可以得到 enQueue 操作的概率为 p1，deQueue 操作的概率为 p2。对于每种操作，我们需要一一计算出留下 k 个元素的概率，然后求和。

根据以上描述，我们可以完成代码实现。

代码实现

本题的主要思路已经呈现在解题思路中，这里为方便读者阅读，给出一个Python3的实现。

def probability(n, m, k, p1, p2):
    if n == 0:
        return k <= m
    else:
        prob1 = p1 * probability(n-1, m+1, k, p1, p2)
        prob2 = p2 * probability(n-1, m-1, k, p1, p2)
        return prob1 + prob2

总结

本题考察的是程序员对概率和递归的理解和应用能力。在实现的过程中，需要注意面试官的提问，如时间和空间复杂度的优化，错误处理等。因此，建议读者在掌握基本思路后，再进一步尝试和思考，将算法进行优化，使代码质量更加完善。