资质 | GATE CS 1998 | 问题10

此题来自于1998年的计算机科学研究生入学考试（GATE CS 1998），是一道经典的计算机理论问题。该问题考察了计算机科学中的图论和算法设计。

题目描述

有一个无向带权图 $G=(V,E)$，其中每个权重都为正数。给定该图 $G$ 中连通的两个顶点 $s$ 和 $t$，以及一个整数 $k$。设计一种有效算法，判断是否存在一条长度为至多 $k$ 的简单路径从 $s$ 到 $t$。

思路解析

一个朴素的想法是使用深度优先搜索，找到所有长度为 $k$ 以内的简单路径，然后判断是否包含起点和终点。该算法的时间复杂度为 $O(|E|^k)$，当 $k$ 较大时会存在效率问题。

另一种思路是使用动态规划，假设 $v$ 为路径 $P$ 的中间顶点，则可以将路径 $P$ 分为两段，其中一段包含 $v$，且长度小于 $k$，另一段长度为 $k$ 的简单路径。则可以用动态规划的思想计算 $s$ 到多少条长度小于 $k$ 的路径，以及 $v$ 到 $t$ 的所有长度小于 $k$ 的路径，然后将两者相乘得到以 $v$ 为中间顶点的所有长度小于 $k$ 的路径。遍历所有可能作为中间顶点的顶点，即可得到从 $s$ 到 $t$ 的所有长度小于等于 $k$ 的简单路径。该算法的时间复杂度为 $O(|E|^2 \log k)$，空间复杂度为 $O(|V|^2 \log k)$。

代码片段

下面是用 Python3 实现的代码片段，具体实现细节可以参考注释说明。

import heapq

def find_shortest_path(s, t, k, graph):
    # 使用 Dijkstra 算法计算 s 到所有顶点的最短路径
    dist = {v: float('inf') for v in graph}
    dist[s] = 0
    queue = [(0, s)]
    while queue:
        d, u = heapq.heappop(queue)
        if d > dist[u]:
            continue
        for v, w in graph[u].items():
            if dist[u] + w < dist[v]:
                dist[v] = dist[u] + w
                heapq.heappush(queue, (dist[v], v))

    # 计算每个顶点到 t 的简单路径数量
    # 用到了 Floyd-Warshall 算法，可以同时计算所有顶点对之间的最短路径
    n = len(graph)
    count = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        count[i][i] = 1
        for j in range(i+1, n):
            if graph[i].get(j):
                count[i][j] = count[j][i] = 1
    for k in graph:
        for i in graph:
            for j in graph:
                if count[i][k] and count[k][j]:
                    count[i][j] += count[i][k] * count[k][j]

    # 遍历所有可能的中间顶点，计算从 s 到 t 的所有长度小于等于 k 的简单路径
    paths = set()
    for v in graph:
        if v in (s, t):
            continue
        for u, w1 in graph[v].items():
            if dist[s] + w1 + dist[t] <= k:
                # 使用 Floyd-Warshall 计算以 v 为中间顶点的路径数量
                for i in graph:
                    for j in graph:
                        if count[i][v] and count[v][j] and \
                           dist[s] + graph[s].get(i, float('inf')) + w1 + graph[j].get(t, float('inf')) <= k:
                            paths.add((i, v, j))
    return paths

注意：这段代码是实现了算法的核心逻辑，并不包含完整的输入输出逻辑和异常处理。完整实现请参考源代码。