断字问题 | DP-32

介绍

“断字问题”是指在文本编辑中，当一行文字超出给定的宽度限制时，需要将该行文字分成几行并合理排版。

此问题是一道经典而又实用的算法题，常见于文本编辑器、网站页面呈现等场景。

动态规划算法是解决“断字问题”的常用算法，主要思路是用动态规划表格来记录每一行可容纳的单词数量和这些单词所占用的字符数，从而得到最优的断字方案。

解题思路

1. 定义状态

使用dp[i]表示前i个单词排版的最小代价（即每一行字符数量与目标长度之差的平方和），状态转移方程为：

dp[i] = min(dp[j-1] + cost(j, i)), j<=i

其中，cost(j, i)表示将单词序号从j到i的单词排版到一行中的最小代价。

2. 状态转移

根据定义的状态，我们可以得到状态转移方程。对于任意的j <= i，代价cost(j, i)可以分为两部分：一是上一行最小代价，二是当前行单词排版造成的代价。因此：

cost(j, i) = dp[j-1] + (w - len[j][i]) ^ 2

其中，len[j][i]表示单词从j到i的字符总数；w表示给定的行宽度。

状态转移方程的表达式如下：

dp[i] = min(dp[j-1] + (w - len[j][i]) ^ 2), j<=i

3. 初始状态

当没有单词时，最小代价为0：

dp[0] = 0

4. 时间复杂度

根据状态转移方程的计算过程，可以得到时间复杂度为O(n^2)。

代码实现

以下是基于动态规划算法的断字问题的Python代码实现：

def wordWrap(words, w):
    n = len(words)
    dp = [float('inf')] * (n+1)
    p = [[0] * n for _ in range(n)]
    dp[0] = 0
    
    for i in range(1, n+1):
        len_i = 0
        for j in range(i, n+1):
            len_i += len(words[j-1])
            if j == i:
                cost = (w - len_i) ** 2
            else:
                cost = p[i][j-2] + (w - len_i) ** 2
            if cost < dp[j]:
                dp[j] = cost
                p[i][j-1] = j
    
    i = n
    lines = []
    while i > 0:
        j = p[1][i-1]
        lines.append(' '.join(words[j-1:i]))
        i = j-1
    lines.reverse()
    
    return lines

总结

“断字问题”是一道较为经典且实用的算法问题，它是面向行文本呈现的多数应用中必须要考虑的问题之一。动态规划算法是解决“断字问题”的常用手段，主要思路是用动态规划表格记录每行单词数量和所占字符数量，从而得到最优的排版方案。