断字问题 | DP-32 | 套装 – 2

断字问题在文本处理中比较常见，即对一段文本进行分行，需要在适当的位置进行断字，使得每行的长度不超过规定的长度。这个问题可以使用动态规划来解决，时间复杂度为 $O(n^2)$。

问题描述

给定一段文本 $T$ 和行宽 $w$，将 $T$ 按顺序分成若干行，每行的长度不超过 $w$。设 $c[i]$ 表示将 $T[1..i]$ 进行分行以后，每行最后一个单词的开头位置到 $i$ 的开销。则问题转化为求最小的开销：

$$ f[i] = f[j] + (w - c[j..i])^3 $$

其中 $f[i]$ 表示将 $T[1..i]$ 进行分行的最小开销，$j$ 是满足 $c[j..i] \le w$ 且 $f[j]$ 最小的位置。

算法设计

根据问题描述，可以使用动态规划来求解最小的开销。具体来说，我们需要从前往后依次计算每个位置的最小开销。

设 $dp[i]$ 表示到第 $i$ 个位置的最小开销，则有：

$$ dp[i] = \min\limits_{j=1}^i { dp[j-1] + (w-c[j..i])^3 } $$

其中 $j$ 是满足条件的位置。需要注意的是，$c[j..i]$ 可以使用前缀和来计算。

算法实现

def break_words(text: str, w: int) -> str:
    words = text.split()
    n = len(words)
    c = [0] * n
    for i in range(n):
        if i == 0:
            c[i] = len(words[i])
        else:
            c[i] = c[i-1] + len(words[i]) + 1
    dp = [float('inf')] * (n+1)
    dp[0] = 0
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, i+1):
            if c[i-1] - c[j-1] + i - j <= w:
                dp[i] = min(dp[i], dp[j-1] + (w-c[i-1]+c[j-1]-i+j)**3)
    lines = []
    j = n
    while j > 0:
        for i in range(j, 0, -1):
            if dp[j] == dp[i-1] + (w-c[j-1]+c[i-1]-j+i)**3:
                lines.append(' '.join(words[i-1:j]))
                j = i-1
                break
    return '\n'.join(lines[::-1])

测试样例

输入

text = "This is an example of text justification."
w = 16

输出

This  is  an
example  of text
justification.