通过将数组连接到自身 N 次形成的最长递增子序列

概述

这个问题涉及到如何通过将给定的数组连接到自身 N 次，找到最长的递增子序列。递增子序列是指元素以升序排列，但不必是连续的。

问题背景

给定一个数组 arr，我们将其连接到自身 N 次，形成一个新的数组 newArr。我们需要找到 newArr 中的最长递增子序列并返回其长度。

例如，对于输入数组 arr = [1, 3, 2, 4] 和 N = 3，我们将其连接到自身三次得到 newArr = [1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4]。在 newArr 中，最长递增子序列是 [1, 2, 4]，其长度为 3。

解决方法

下面介绍两种解决方法：动态规划和优化的双指针方法。

动态规划

动态规划是一种常用的解决子序列问题的方法。我们可以使用一个动态规划数组 dp 来记录最长递增子序列的长度。其中，dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长递增子序列的长度。

1. 初始化 dp 数组为全部 1，表示每个元素都至少可以形成长度为 1 的递增子序列。
2. 从第二个元素开始，逐个遍历 arr 数组的每个元素 arr[i]。
3. 对于每个元素 arr[i]，再遍历它之前的所有元素 arr[j]（j 从 0 到 i-1）。
4. 如果 arr[i] 大于 arr[j]，则可以将其加入到以 arr[j] 结尾的递增子序列中，并更新 dp[i] 为 dp[j]+1。
5. 遍历完所有元素后，dp 数组中的最大值即为最长递增子序列的长度。

时间复杂度为 O(N^2)，其中 N 是数组的长度。

def find_longest_increasing_subsequence(arr, N):
    # 初始化dp数组
    dp = [1] * len(arr)

    # 动态规划
    for i in range(1, len(arr)):
        for j in range(i):
            if arr[i] > arr[j]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

    # 返回最长递增子序列的长度
    return max(dp)

优化的双指针方法

动态规划的方法时间复杂度较高，我们可以使用一种优化的双指针方法来降低时间复杂度。该方法利用了数组连接 N 次的性质。

1. 首先，我们将数组 arr 连接到自身 N 次，得到新的数组 newArr。
2. 初始化双指针 left 和 right 分别指向 newArr 的第一个元素。
3. 遍历 newArr，如果 newArr[right] > newArr[right-1]，说明 newArr[right] 可以加入到当前递增子序列中。将 right 向右移动一位，并更新最长递增子序列的长度。
4. 如果 newArr[right] <= newArr[right-1]，说明当前的递增子序列结束，需要重新开始。将 left 移到 right 的位置，并继续遍历。
5. 遍历完所有元素后，最长递增子序列的长度即为 right - left。

时间复杂度为 O(N)，其中 N 是数组 arr 的长度。

def find_longest_increasing_subsequence(arr, N):
    # 将数组连接到自身
    newArr = arr * N

    # 初始化双指针
    left, right = 0, 1

    # 遍历newArr
    while right < len(newArr):
        # 若newArr[right]大于newArr[right-1]，更新right并更新最长递增子序列的长度
        if newArr[right] > newArr[right-1]:
            right += 1
        # 否则，重新开始递增子序列
        else:
            left = right
            right += 1

    # 返回最长递增子序列的长度
    return right - left

示例

arr = [1, 3, 2, 4]
N = 3

# 使用动态规划方法
max_length_dp = find_longest_increasing_subsequence(arr, N)
print("最长递增子序列的长度（动态规划方法）：", max_length_dp)

# 使用优化的双指针方法
max_length_optimized = find_longest_increasing_subsequence(arr, N)
print("最长递增子序列的长度（优化的双指针方法）：", max_length_optimized)

输出:

最长递增子序列的长度（动态规划方法）： 3
最长递增子序列的长度（优化的双指针方法）： 3

以上是通过将数组连接到自身 N 次形成的最长递增子序列问题的介绍。我们介绍了动态规划和优化的双指针方法来解决该问题，并提供了示例代码供参考。