通过增加子集和排序的第 K 个子集的最大值和最小值之和

简介

对于长度为n的数组，其子集的总数为 $2^n$。对这些子集按照子集和进行排序可以得到一个长度为 $2^n$ 的子集和数组$sum[]$。

定义一个函数$f(i)$为第$i$个子集的最大值和最小值之和。我们的任务是找到一个最小的 $k$，使得$ f(1)+f(2)+...+f(k) \geq S$，其中$S$为某个给定的值。

解决方案

我们可以使用二分法来找到最小的$k$，具体做法如下：

1. 定义一个函数$f(x)$，输入为一个整数$x$，输出为第$x$个子集中最大值和最小值之和。

2. 初始化左右边界，左边界为1，右边界为 $2^n-1$。

3. 在左右边界之间进行二分，求出中间位置mid，计算$f(mid)$的值。

4. 根据$f(mid)$的值和$S$的大小关系，确定二分查找的方向：

   • 如果$f(mid)$小于$S$，说明答案可能更大，那么将左边界移动到mid+1的位置。

   • 如果$f(mid)$大于等于$S$，说明答案可能在mid及mid的左侧，那么将右边界移动到mid的位置。

5. 当左边界等于右边界时，即找到了最小的$k$，返回结果即可。

时间复杂度为$O(n^2logn)$。

代码实现

下面是使用Python实现的示例代码：

def f(x, lst):
    """
    计算第x个子集的最大值和最小值之和
    """
    cur_min = float('inf')
    cur_max = float('-inf')
    for i in range(len(lst)):
        if x & (1 << i):
            cur_min = min(cur_min, lst[i])
            cur_max = max(cur_max, lst[i])
    return cur_min+cur_max
 
def subset_sum_sort(lst, S):
    """
    通过二分法查找增加子集和排序的第K个子集的最大值和最小值之和
    """
    n = len(lst)
    # 构建子集和数组
    sum = [0]*(1 << n)
    for i in range(1, 1 << n):
        for j in range(n):
            if i & (1 << j):
                sum[i] = sum[i^(1 << j)]+lst[j]
                break
    # 二分查找
    left = 1
    right = (1 << n)-1
    while left < right:
        mid = (left+right) // 2
        if f(mid, lst) < S:
            left = mid+1
        else:
            right = mid
    return left

返回的代码片段如下：

```python
def f(x, lst):
    """
    计算第x个子集的最大值和最小值之和
    """
    cur_min = float('inf')
    cur_max = float('-inf')
    for i in range(len(lst)):
        if x & (1 << i):
            cur_min = min(cur_min, lst[i])
            cur_max = max(cur_max, lst[i])
    return cur_min+cur_max
 
def subset_sum_sort(lst, S):
    """
    通过二分法查找增加子集和排序的第K个子集的最大值和最小值之和
    """
    n = len(lst)
    # 构建子集和数组
    sum = [0]*(1 << n)
    for i in range(1, 1 << n):
        for j in range(n):
            if i & (1 << j):
                sum[i] = sum[i^(1 << j)]+lst[j]
                break
    # 二分查找
    left = 1
    right = (1 << n)-1
    while left < right:
        mid = (left+right) // 2
        if f(mid, lst) < S:
            left = mid+1
        else:
            right = mid
    return left