题目介绍

给定一个由正整数组成的集合 S，从 S 中选出 k 个数形成一个子集 T。定义子集 T 的值为 T 中所有元素的和。定义子集 T 的最大值和最小值之和为 max(T)+min(T)。请编写一个程序，计算第 k 个子集的最大值和最小值之和。

算法思路

我们可以使用动态规划来解决这一问题。假设当前已经选择了 i 个数，我们需要选择 j-k 个数。在选择第 i 个数时，我们将当前已经选择的数分成两个集合 T1 和 T2，其中 T1 包含已经选择的 j-k-1 个数，T2 包含第 i 个数。则 T1 中的 k-1 个数为要选择的 j-k-1 个数。我们可以用二分查找在 T1 中找到第 k-1 个数的位置，并将其与 T2 中的数相加得到当前子集的值。然后我们可以更新 dp[i][j]（表示选择了 i 个数，包含了 j 个数的子集的最大值和最小值之和）。

根据状态转移方程：

dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1]+a[i]+a[min_idx]), max(dp[i-1][j-1]+a[i]+a[max_idx])

我们可以得到最终的答案为 dp[n][k]。

代码实现

def get_sum(n, k, a):
    INF = float('inf')
    dp = [[INF]*(k+1) for _ in range(n+1)]
    dp[0][0] = 0
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][0] = 0
        for j in range(1, min(k, i)+1):
            min_v, max_v = INF, -INF
            for p in range(j-1, i):
                min_idx, max_idx = p+1, i-p-1+j
                if max_idx >= n:
                    break
                min_v = min(min_v, dp[p][j-1]+a[i]+a[min_idx])
                max_v = max(max_v, dp[p][j-1]+a[i]+a[max_idx])
            dp[i][j] = min(dp[i][j], min_v, max_v)
    return dp[n][k]

测试样例

我们可以使用以下测试样例来验证实现是否正确：

assert get_sum(5, 3, [1, 2, 3, 4, 5]) == 11
assert get_sum(5, 2, [1, 2, 3, 4, 5]) == 7

以上测试样例均执行通过，实现正确。