构造一个不包含任何具有相同值的相邻节点对的图

在图论中，我们经常需要构造符合一定特定性质的图。本文讨论的是如何构造一个不包含任何具有相同值的相邻节点对的图。

问题描述

给定一个无向图 $G = (V,E)$，其中 $V$ 为顶点集，$E$ 为边集。请构造一个新图 $G' = (V',E')$，其中 $V' = V$ 且 $E'$ 满足以下特点：

• 对于所有 $u,v \in V'$，有 $(u,v) \notin E'$；
• 对于所有 $u,v \in V'$，若 $(u,v) \notin E'$ 且 $(v,u) \notin E'$，则 $u$ 和 $v$ 的标签不相同。

解法分析

根据问题描述，我们需要保证新图中不存在相邻节点的标签相同，因此我们对原图进行以下操作：

• 构造新图 $G' = (V',E')$，其中 $V' = V$；
• 对于原图 $G = (V,E)$ 中的每条边 $(u,v) \in E$，若 $u$ 和 $v$ 的标签相同，则在 $G'$ 中添加点 $u'$ 和 $v'$，标签分别为原标签后加上 $1$ 和 $2$，且在 $G'$ 中添加边 $(u',v')$；
• 对于原图 $G = (V,E)$ 中的每条边 $(u,v) \in E$，若 $u$ 和 $v$ 的标签不同，则在 $G'$ 中添加边 $(u,v)$。

构造完成后，我们可以证明 $G'$ 满足要求。

首先，对于所有 $u,v \in V'$，若原图中 $(u,v)$ 不属于 $E$，则显然 $(u,v) \in E'$；若原图中 $(u,v)$ 属于 $E$，则若 $u$ 和 $v$ 的标签相同，则在 $G'$ 中结点 $u'$ 和 $v'$ 的标签不同，因此 $(u',v') \notin E'$；若 $u$ 和 $v$ 的标签不同，则 $(u,v) \in E'$。

其次，对于所有 $u,v \in V'$，若 $(u,v) \notin E'$ 且 $(v,u) \notin E'$，则 $u$ 和 $v$ 的标签不同。因此，$G'$ 不包含任何具有相同值的相邻节点对。

代码实现

下面给出 Python 代码实现：

from typing import Dict, List, Tuple


def construct_graph(graph: Dict[str, List[str]]) -> Dict[str, List[str]]:
    """
    Construct a new graph that does not contain any adjacent nodes with the same label.

    Args:
    - graph: the input graph, represented as an adjacency list

    Returns:
    - the new graph, represented as an adjacency list
    """

    new_graph = {node: [] for node in graph}

    node_counter = 0
    node_labels = {}
    added_nodes = set()

    for node in graph:
        node_label = graph[node]
        if node_label not in node_labels:
            node_labels[node_label] = [node]
        else:
            node_labels[node_label].append(node)

    for node in graph:
        node_label = graph[node]

        if node_label in node_labels and len(node_labels[node_label]) > 1:
            node1 = node_labels[node_label][0]
            node2 = node_labels[node_label][1]

            if (node1, node2) not in added_nodes and (node2, node1) not in added_nodes:
                new_node1 = f"{node1}_1"
                new_node2 = f"{node2}_2"
                new_graph[new_node1].append(new_node2)
                new_graph[new_node2].append(new_node1)

                added_nodes.add((node1, node2))
                added_nodes.add((node2, node1))

        for neighbor in graph[node]:
            neighbor_label = graph[neighbor]

            if node_label != neighbor_label:
                new_graph[node].append(neighbor)

    return new_graph

总结

本文介绍了如何构造一个不包含任何具有相同值的相邻节点对的图。具体地，我们对原图进行了一些特殊的操作，并证明了构造出的新图满足所给要求。同时，我们给出了 Python 代码实现。