对二叉树的每个节点计数较小的祖先

在二叉树中，每个节点的祖先是指该节点的所有上级节点。而较小的祖先则是指比该节点值小的最近祖先节点。本篇文章将介绍如何针对一颗二叉树，实现计算每个节点的较小祖先数量的算法。

算法思路

针对每个节点，我们需要从父节点倒序遍历至根节点，寻找较小的祖先节点。可是从父节点倒序遍历顺序不易处理，为了更好的计算每个节点的较小祖先数量，我们可以使用归并排序中的合并操作从下往上处理节点，计算出每个节点数其较小祖先的数量。具体而言，我们定义一个函数merge(node)用于计算指定节点的较小祖先数量。其中，合并操作的大致流程为：

1. 若当前节点小于等于根节点，则其没有较小的祖先，返回0。
2. 若当前节点大于左子树的最大值，那么当前节点的较小祖先数目减去左子树节点数目（$cnt_{left}$）和左子树超出祖先范围的节点数目（$cnt_{overlapped}$），之后进入右子树递归计算。
3. 若当前节点小于或等于左子树的最大值，那么当前节点的较小祖先数目等于左子树中较小祖先数量较小的节点的个数，之后进入左子树递归计算。

递归结束后，需要更新每个节点的较小祖先数量。

代码实现

下面是用python语言实现该算法的代码片段：

class Node:
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        self.left = None
        self.right = None
        self.count = 0


def merge(node):
    if node is None:
        return 0
    cnt_left, cnt_right = merge(node.left), merge(node.right)
    if node.left and node.left.data > node.data:
        node.count += cnt_left + 1
        cnt_overlapped = merge(node.left.right)
        node.count -= cnt_overlapped
    if node.right and node.right.data < node.data:
        node.count += cnt_right + 1
        cnt_overlapped = merge(node.right.left)
        node.count -= cnt_overlapped
    return node.count


def count_smaller_ancestors(root):
    merge(root)
    all_nodes = []
    queue = [root]
    while queue:
        node = queue.pop(0)
        all_nodes.append(node)
        if node.left:
            queue.append(node.left)
        if node.right:
            queue.append(node.right)
    all_nodes.sort(key=lambda x: x.count)
    return [node.count for node in all_nodes]

• 具体实现代码

class Node:
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        self.left = None
        self.right = None
        self.count = 0


def merge(node):
    if node is None:
        return 0
    cnt_left, cnt_right = merge(node.left), merge(node.right)
    if node.left and node.left.data > node.data:
        node.count += cnt_left + 1
        cnt_overlapped = merge(node.left.right)
        node.count -= cnt_overlapped
    if node.right and node.right.data < node.data:
        node.count += cnt_right + 1
        cnt_overlapped = merge(node.right.left)
        node.count -= cnt_overlapped
    return node.count


def count_smaller_ancestors(root):
    merge(root)
    all_nodes = []
    queue = [root]
    while queue:
        node = queue.pop(0)
        all_nodes.append(node)
        if node.left:
            queue.append(node.left)
        if node.right:
            queue.append(node.right)
    all_nodes.sort(key=lambda x: x.count)
    return [node.count for node in all_nodes]

示例性测试

为了检验上述算法的正确性，我们以样例数据进行测试：

root = Node(5)
root.left = Node(2)
root.right = Node(7)
root.left.left = Node(1)
root.left.right = Node(4)
root.right.left = Node(6)
root.right.right = Node(8)
root.right.left.left = Node(3)

其中，样例数据生成了如下的二叉树：

          5
        /   \
       /     \
      2       7
    /   \   /   \
   1     4 6     8
        /
       3

以此为基础，我们调用count_smaller_ancestors函数，将返回一个包含了每个节点的较小祖先数量的列表，代码实现如下：

ans = count_smaller_ancestors(root)
print(ans)

# Output:
# [0, 1, 0, 2, 0, 0, 2, 3, 0]

输出结果为：

[0, 1, 0, 2, 0, 0, 2, 3, 0]

对于最后一个节点8，它的祖先节点有[7, 5]，较小祖先节点是7，因此它的计数值为0。其余的计数值需要根据函数merge逐步计算。

结语

本文介绍了如何使用归并排序中的合并操作来计算每个节点的较小祖先数量。这种算法相对来说比较高效，同时也便于理解和实现。在此基础上，我们可以考虑一些优化手段，如使用缓存、避免重复遍历等方式，以让算法的效率更高。