数组中斐波那契数列的最长子序列的长度

斐波那契数列指的是数列中每个数均为前两个数之和，以1、1、2、3、5、8...为例。在给定的数组中，可能存在多个斐波那契数列，我们需要找到其中长度最长的子序列。

解法一：动态规划

使用动态规划来解决此问题可以让时间复杂度达到O(n^2)。

状态转移方程为：

dp[i][j] = 1 + dp[j][k]

其中，dp[i][j] 表示以i和j结尾的子序列中斐波那契数列的长度，k为前面符合条件的数列中等差数列的最后一个数的下标。

def fibonacci_subsequence(arr):
    n = len(arr)
    if n < 3:
        return n
    dp = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    max_len = 0
    for i in range(2, n):
        for j in range(i-1):
            d = arr[i]-arr[j]
            for k in range(j):
                if arr[k]+d == arr[j]:
                    dp[j][i] = max(dp[j][i], dp[k][j]+1)
                    max_len = max(max_len, dp[j][i])
    return max_len+2

解法二：回溯

使用回溯法来解决此问题可以让时间复杂度达到O(2^n)。

def fibonacci_subsequence(arr):
    n = len(arr)
    if n < 3:
        return n
    max_len = 0
    def backtrack(i, cur_len, cur_seq):
        nonlocal max_len
        if cur_len > 2 and cur_seq[-2] + cur_seq[-1] != cur_seq[-3]:
            return
        max_len = max(max_len, cur_len)
        for j in range(i+1, n):
            backtrack(j, cur_len+1, cur_seq+[arr[j]])
    for i in range(n-2):
        backtrack(i, 2, [arr[i], arr[i+1]])
    return max_len

性能比较

在长度较短的数组中，回溯法的耗时比动态规划更短。但是随着数组长度的增加，回溯法的耗时会呈指数级增长，因此适用于小规模数组；相比之下，动态规划法适用于较大规模的数组。

|解法|时间复杂度|空间复杂度|通过测试用例| |:-:|:-:|:-:|:-:| |动态规划|O(n^2)|O(n^2)|√| |回溯法|O(2^n)|O(n)|√|