二叉树中斐波那契路径的计数

简介

斐波那契数列是指：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……。在数学中，斐波那契数列是以递归的方法定义出的：

$$F(0) = 0, F(1) = 1$$ $$F(n) = F(n-1) + F(n-2) \ \ (n>1)$$

本题要求计算二叉树中斐波那契路径的个数，斐波那契路径是指二叉树中从根节点到叶子节点的路径，该路径上所有节点的值构成的序列恰好是斐波那契数列的子序列。

思路

由于斐波那契数列有递归的特性，我们可以通过递归的方式来解决本题。我们从根节点开始递归，如果当前节点的值和前两个节点的值构成了斐波那契数列的子序列，那么我们递归进入当前节点的左右子树，并计算左右子树斐波那契路径的个数。最后将左右子树的斐波那契路径个数相加即可。

代码实现

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

class Solution:
    def fibonacciPath(self, root: TreeNode) -> int:
        def dfs(node, pre1, pre2):
            if not node:
                return 0
            else:
                cnt = 0
                if pre1 != None and pre2 != None and node.val == pre1 + pre2:
                    cnt = 1
                cnt += dfs(node.left, node.val if pre1 == None else pre1, pre1)
                cnt += dfs(node.right, node.val if pre1 == None else pre1, pre1)
                return cnt

        return dfs(root, None, None)

可以看到，我们定义了一个dfs()函数，该函数接受三个参数：当前节点，前一个节点的值和前两个节点的值。函数内部首先判断当前节点是否为空，如果为空则返回0；否则，如果当前节点的值和前两个节点的值构成了斐波那契数列的子序列，那么我们递归进入当前节点的左右子树，并计算左右子树斐波那契路径的个数。最后将左右子树的斐波那契路径个数相加即可。

在fibonacciPath()函数内部，我们调用了dfs()函数，并传入根节点、None和None作为参数。

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中n为二叉树的节点数。我们需要遍历每个节点一次。
• 空间复杂度：$O(h)$，其中h为二叉树的高度。递归的深度不超过二叉树的高度，因此空间复杂度为O(h)。

总结

本题通过递归的方式来求解斐波那契路径个数，我们从根节点开始递归，如果当前节点的值和前两个节点的值构成了斐波那契数列的子序列，那么我们递归进入当前节点的左右子树，并计算左右子树斐波那契路径的个数。最后将左右子树的斐波那契路径个数相加即可。时间复杂度为$O(n)$，其中n为二叉树的节点数，空间复杂度为$O(h)$，其中h为二叉树的高度。