给定数组中可能的两个最小子集的长度总和，总和至少为 K

简介

有一个整数数组，现在需要将其分成两个子集，使得这两个子集的长度和不小于给定的K，并且两个子集的长度都要尽可能小。请设计一个算法来解决这个问题。

示例

给定数组 nums = [5, 2, 1, 3, 4]，K = 7，应当返回 2，因为两个子集可以分别为 [5, 2] 和 [1, 3, 4]，它们的长度之和为 2 + 3 = 5，满足要求。

思路

这个问题可以转化为一个“背包问题”，我们可以使用动态规划来解决。

首先，我们需要计算出整个数组的总和 sum，然后我们定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示前 i 个数字中选出的元素的和不大于 j 的所有方案中，第一个子集的长度最小是多少。

对于每个元素，我们可以考虑两种情况：

1. 不选该元素，此时第一个子集的长度为 dp[i-1][j]
2. 选该元素，此时第一个子集的长度为 dp[i-1][j-nums[i]]

显然，我们需要选择上面两种情况中的较小值，即：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-nums[i]])，其中 i 表示处理到第 i 个元素，j 表示背包的容量，nums[i] 表示第 i 个元素的值。

最终的答案就是 dp[n][sum/2]，其中 n 表示数组的长度。

代码

def min_subset_sum(nums, K):
    n = len(nums)
    sum_num = sum(nums)
    target = K + sum_num // 2
    dp = [[float('inf')] * (target+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        dp[i][0] = 0
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, target+1):
            if nums[i-1] <= j:
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-nums[i-1]]+1)
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
    for j in range(target, -1, -1):
        if dp[n][j] <= n and j >= K:
            return dp[n][j]
    return -1

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N \times \frac{K+sum}{2})$，其中 N 为数组的长度，sum 为数组中所有元素的和。需要预处理出长度为 $N \times \frac{K+sum}{2}$ 的二维数组，然后进行 $N \times \frac{K+sum}{2}$ 次状态转移。
• 空间复杂度：$O(N \times \frac{K+sum}{2})$，需要使用长度为 $N \times \frac{K+sum}{2}$ 的二维数组保存状态。