数组的所有子数组的乘积|套装2

在计算机编程中，数组是最基本的数据结构之一。数组由一系列元素组成，并按照一定的顺序排列。 在本文中，我们将探讨如何计算一个数组的所有子数组的乘积。

问题描述

给定一个整数数组 nums，编写一个函数来计算它的所有子数组的乘积。

例子

Input: nums = [1,2,3,4]
Output: [1, 2, 3, 4, 2, 6, 12, 3, 12, 24, 4, 24]
Explanation: 
- 对于数组 [1,2,3,4]，子数组有 [1], [1, 2], [1, 2, 3], [1, 2, 3, 4], [2], [2, 3], [2, 3, 4], [3], [3, 4], [4]。
- 子数组的乘积为相应元素之积，例如 [2,3,4] 的乘积是 2*3*4 = 24。
- 所有子数组的乘积为 [1, 2, 3, 4, 2, 6, 12, 3, 12, 24, 4, 24]。

Input: nums = [0, 1, 2, 3]
Output: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Explanation:
- 对于数组 [0,1,2,3]，子数组有 [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3], [1], [1, 2], [1, 2, 3], [2], [2, 3], [3]。
- 子数组的乘积为相应元素之积，例如 [0,1,2] 的乘积是 0*1*2 = 0。
- 由于有一个元素为 0（即 nums[0]），所以所有子数组的乘积都为 0 。

Input: nums = [0, 2, 3, 4]
Output: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Explanation:
- 对于数组 [0,2,3,4]，子数组有 [0], [0, 2], [0, 2, 3], [0, 2, 3, 4], [2], [2, 3], [2, 3, 4], [3], [3, 4], [4]。
- 由于有一个元素为 0（即 nums[0]），所以所有子数组的乘积都为 0。

解法

解法一：穷举法

利用两重循环，枚举所有的子数组，求出乘积。 时间复杂度为 $O(n^3)$。

def get_subarray_product(nums):
    res = []
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i+1, len(nums)+1):
            product = 1
            for k in range(i, j):
                product *= nums[k]
            res.append(product)
    return res

解法二：动态规划

我们可以用动态规划的方法实现。 我们可以设 dp[i][j] 为以 nums[i] 为开头、 nums[j] 为结尾的子数组乘积，那么有：

dp[i][j] = dp[i+1][j-1] * nums[i] * nums[j]
dp[i][i] = nums[i]  # 一个元素的情况

那么问题就转化为了如何填充 dp 数组，这里可以借鉴 LeetCode 题目 152. Maximum Product Subarray 的思想，使用一个 max_val 和一个 min_val 分别表示最大乘积和最小乘积，根据正负数的性质，当 nums[j] 为正数时，更新最大乘积，当 nums[j] 为负数时，交换 max_val 和 min_val，再更新最大乘积。这里也需要特殊处理元素为 0 的情况。

时间复杂度为 $O(n^2)$。

def get_subarray_product(nums):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    res = []
    for i in range(n):
        dp[i][i] = nums[i]  # 初始化一个元素的情况
        res.append(dp[i][i])
    for i in range(n-1, -1, -1):
        for j in range(i+1, n):
            if nums[j] == 0:
                dp[i][j] = 0  # 元素为 0 的情况
                res.append(0)
            elif nums[j] > 0:
                dp[i][j] = dp[i][j-1] * nums[j]
                res.append(dp[i][j])
            else:
                max_val, min_val = dp[i][j-1], dp[i][j-1]
                for k in range(j-1, i-1, -1):
                    temp = max_val
                    max_val = max(max_val * nums[k], min_val * nums[k], nums[k])
                    min_val = min(temp * nums[k], min_val * nums[k], nums[k])
                dp[i][j] = max_val
                res.append(max_val)
    return res

解法三：双指针

我们可以使用双指针法来实现。 我们维护两个指针 left 和 right 来表示子数组的左右端点，初始值为 0。 然后，我们将 left 和 right 同时向右移动，直到 right 超出数组的范围。 这样，我们将枚举所有子数组，并计算出它们的乘积。 时间复杂度为 $O(n^2)$。

def get_subarray_product(nums):
    n = len(nums)
    res = []
    i = 0
    while i < n:
        j = i
        product = 1
        while j < n:
            product *= nums[j]
            res.append(product)
            j += 1
        i += 1
    return res

总结

本文介绍了三种方法来计算一个数组的所有子数组的乘积：穷举法、动态规划和双指针法。 穷举法时间复杂度较高，动态规划虽时间复杂度仍然为 $O(n^2)$，但空间复杂度较高，而双指针法既简单又高效，时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(1)$。