数组所有子数组的乘积

本文介绍如何计算一个数组中所有子数组的乘积。

题目描述

给定一个整数数组 nums，编写一个函数来计算数组中所有子数组的乘积。

示例：

输入：nums = [1,2,3,4] 输出：24 解释：所有子数组的乘积为：[1],[2],[3],[4],[1,2],[2,3],[3,4],[1,2,3],[2,3,4],[1,2,3,4]。 其中，最大乘积为 6 × 8 = 48。

解法一：暴力

我们可以枚举所有的子数组，计算它们的乘积，然后取最大值。

代码如下：

class Solution:
    def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        ans = float('-inf')
        for i in range(n):
            mul = 1
            for j in range(i, n):
                mul *= nums[j]
                ans = max(ans, mul)
        return ans

时间复杂度：O(N^2)，其中 N 是数组的长度。

解法二：动态规划

根据题目的要求，我们需要求出所有子数组的乘积，并取其中的最大值。因此，我们需要计算以每个元素为结尾的子数组的最大值和最小值。

设 $f_i$ 表示以第 $i$ 个元素为结尾的子数组中最大的乘积，$g_i$ 表示以第 $i$ 个元素为结尾的子数组中最小的乘积。我们可以得到以下状态转移方程：

$$ f_i = \max{f_{i-1} \times nums[i], g_{i-1} \times nums[i], nums[i]} $$

$$ g_i = \min{f_{i-1} \times nums[i], g_{i-1} \times nums[i], nums[i]} $$

最终的答案即为 $\max{f_i}$。

代码如下：

class Solution:
    def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        f, g = [0] * n, [0] * n
        f[0], g[0], ans = nums[0], nums[0], nums[0]
        for i in range(1, n):
            f[i] = max(f[i-1] * nums[i], g[i-1] * nums[i], nums[i])
            g[i] = min(f[i-1] * nums[i], g[i-1] * nums[i], nums[i])
            ans = max(ans, f[i])
        return ans

时间复杂度：O(N)，其中 N 是数组的长度。

总结

本题可以通过枚举和动态规划两种方式进行求解。使用动态规划可以将时间复杂度优化到 O(N)。