题目介绍

这是一道计算机编程题目。题目要求我们生成 10 个满足均值为 10 的独立同分布的指数分布随机数，然后求出这 10 个随机数的和的分布。

随机数生成

我们可以使用 Python 中的 numpy.random.exponential 函数生成指数分布的随机数。该函数的参数 scale 表示分布的参数，即指数分布的期望值，我们将其设置为 10。

import numpy as np

# 生成 10 个均值为 10 的 iid 指数分布的随机数
x = np.random.exponential(scale=10, size=10)

求和分布

现在我们有了 10 个 iid 指数分布的随机数，我们可以将它们相加，得到一个和的随机变量，然后求出该随机变量的分布。

由中心极限定理可知，当样本数足够多时，独立同分布的随机变量的和会趋近于正态分布。但是，我们只有 10 个随机变量，该定理并不适用，因此我们需要使用数值模拟的方法来计算和的分布。

我们可以使用 Python 中的 numpy.random.normal 函数生成满足指定均值和方差的正态分布随机数。我们将均值设为 100，方差设为 100，这是因为 10 个均值为 10 的指数分布随机变量的和的期望值为 100，方差为 100。最后，我们使用 matplotlib 库将随机变量的分布绘制在图表上。

import matplotlib.pyplot as plt

# 求和
total = np.sum(x)

# 使用 Monte Carlo 模拟方法计算和的分布
samples = []
for i in range(10000):
    # 生成 10 个 iid 指数分布的随机数
    x = np.random.exponential(scale=10, size=10)
    # 求和
    total = np.sum(x)
    # 将和加入样本集
    samples.append(total)

# 绘制分布图表
plt.hist(samples, bins=50, density=True, alpha=0.5, label='Sum Distribution')
plt.xlabel('Value')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.title('Sum Distribution of 10 Exponential Random Variables with Mean 10')
plt.legend()
plt.show()

结束语

通过本题目的练习，我们可以加深对中心极限定理和数值模拟方法的理解，在实践中学习如何使用 Python 生成随机数和绘制图表。