从给定序列 Y 生成序列 X 使得 Yi = gcd(X1, X2 , ... , Xi)

这个问题可以用线性时间复杂度的算法解决，下面介绍一种常用的解法。

设X为待求序列，Y为已知序列。对于任意一个区间[i,j]，可以通过以下方式构造X的子序列：

1. 当 i = 1 时，显然 Xi = Yi。
2. 当 i ≠ 1 时，设 t = gcd(Yi, Xi-1)。则 Xk = t (i ≤ k ≤ j)，因为Xi-1、Xi-2、...、Yi 都是t的倍数，所以t为这些数的最大公约数，同时也是Xk的最大公约数。而Yi可以看作Xi-1和Yi的最大公约数，所以t也是Yi和Xi-1的最大公约数。因此，这个构造方法是正确的。

现在的问题是如何在 O(n) 的时间复杂度内求出所有的 Xi。将 Xi-1 和 Yi 求最大公约数的过程可以用辗转相除法求解。辗转相除法的具体过程如下所示：

1. 设X和Y为两个数，其中X >= Y。
2. 每一次将X除以Y，余数为R。
3. 若R为零，则Y为原来两个数的最大公约数。
4. 若R不为零，将X = Y，Y = R，然后回到步骤2。

辗转相除法的时间复杂度为 O(logn)，实际上可以证明，辗转相除法的最坏时间复杂度为 O(logn)。

使用辗转相除法求最大公约数的代码如下：

def gcd(x, y):
    if x < y:
        x, y = y, x
    while y != 0:
        r = x % y
        x = y
        y = r
    return x

至此，问题的解决方法已经很清晰了。对于每一个i，使用辗转相除法求出Xi-1和Yi的最大公约数，得到t，然后将t赋值给Xi和Xi+1 ...... Xj。最后求出所有的Xi，就可以得到答案。

下面是一个Python的实现：

def calculate_x(y):
    x = [y[0]]
    for i in range(1, len(y)):
        t = gcd(x[-1], y[i])
        x.append(t)
        for j in range(i - 1, len(y)):
            x[j] //= t
    return x

这个算法的时间复杂度是 O(nlogn) 的，因为需要进行 logn 次辗转相除法，每次辗转相除法的时间复杂度是O(logn)。但实际上，大部分情况下，这个算法的时间复杂度是线性的，因为单次辗转相除法的时间复杂度是 O(logn)，而大部分数的大小都不会超过 logn，所以多数情况下，单次辗转相除法的时间复杂度是常数级别的。

如果需要更快速的算法，可以使用欧几里得算法和逆元等技巧，但这已经超出了本文的讨论范畴，感兴趣的读者可以自行研究。