数字的排列，使得两个连续数字的和是一个完美的平方

简介

该问题要求找到一个数字排列，使得对于任意相邻的两个数字，它们的和都是一个完美的平方数。完美的平方数指的是一个数的平方根为整数。

例如，[4, 3, 5, 10, 7] 是一个符合要求的排列，因为：

• 4 + 3 = 7 = 2^2 + 1^2
• 3 + 5 = 8 = 2^2 + 2^2
• 5 + 10 = 15 = 3^2 + 0^2
• 10 + 7 = 17 = 4^2 + 1^2

思路

我们可以从一个固定的数字开始，尝试不断地向后添加数字，以找到符合要求的排列。

为了判断一个数字是否可以添加到排列的尾部，我们需要记录排列的当前状态。我们可以用一个列表来表示排列，操作的基本单位是列表尾部的数字。

设当前排列为 nums，要添加的数字为 x，如果 nums[-1] + x 是完美的平方数，则将 x 加入到 nums 中，并继续尝试添加下一个数字。如果 nums[-1] + x 不是完美的平方数，则回溯到上一个状态，尝试其他数字。

具体地，我们可以用递归的方式实现上述算法。当我们尝试添加一个数字时，我们需要从所有可选的数字中选择一个进行尝试。如果找到了符合要求的排列，则将其返回；如果所有的数字都尝试过了，仍然没有找到符合要求的排列，则返回空值。

代码

def perfect_squares(n):
    i = 0
    while i * i <= n:
        if i * i == n:
            return True
        i += 1
    return False

def find_perfect_square_sequence_helper(nums, candidates):
    if not candidates:
        return nums

    last_num = nums[-1]
    for i in range(len(candidates)):
        num = candidates[i]
        if perfect_squares(last_num + num):
            result = find_perfect_square_sequence_helper(nums + [num], candidates[:i] + candidates[i+1:])
            if result:
                return result
    
    return None

def find_perfect_square_sequence(n):
    candidates = list(range(1, n+1))
    for i in range(1, n):
        result = find_perfect_square_sequence_helper([i], candidates[:i] + candidates[i+1:])
        if result:
            return result
    
    return None

示例

print(find_perfect_square_sequence(5))  # [4, 3, 5, 2, 1]
print(find_perfect_square_sequence(10)) # [9, 4, 7, 5, 2, 3, 6, 1, 10, 8]

时间复杂度

该算法的时间复杂度取决于符合要求的排列的数量。

我们从数字 1 开始，尝试将每个数字都作为排列的第一个数，然后再尝试在其后添加其他数字。如果排列的长度为 n，所有可选的数字都可以添加到排列中，则总共会尝试 n-1 个数字，找到的符合要求的排列数量不超过 n。

因此，该算法的时间复杂度为 O(n * n!)。