通过最多 K 次减少来最小化数组的总和

问题描述：给定一个整数数组 nums 和一个整数 k，你需要将 nums 中的元素进行 k 次以下操作：

• 从 nums 中选择任意一个数字 x，使所有等于 x 的元素都变为 x-1。
• 以下操作只能执行 k 次。

你需要最小化 nums 中所有元素的和。

示例：

输入: nums = [4,3,1], k = 2
输出: 5
解释:
操作如下:
- 把 nums[0] 减少到 2，数组变成 [2,3,1]。
- 把 nums[1] 减少到 2，数组变成 [2,2,1]。

解法

首先对数组进行排序，从最大值开始向下遍历每个数。对于每个数，我们考虑把从它到它前面的数都变成它本身，所需要减少的次数。如果这个次数大于 k，那么就停止遍历计算。

具体地，假设当前要考虑的数为 nums[i]，nums[i-1] 变成 nums[i] 的代价为 i*(nums[i]-nums[i-1])。所以，我们从 i = n-1 开始倒序遍历 nums，对于每个 i，做如下操作：

• 计算 nums[i] 到 nums[0] 中所有数变成 nums[i] 的代价 cost。
• 如果 cost <= k，就将 nums[0] 到 nums[i] 中所有数都变成 nums[i]，k -= cost。
• 如果 cost > k，就将 nums[i] 变成 nums[i] - 1，因为只有这样才能保证后面的操作对结果的贡献最小。

最终，数组 nums 中所有元素的和就是我们要求的答案。

具体实现请见以下代码：

def min_sum_after_k_operations(nums: List[int], k: int) -> int:
    n = len(nums)
    nums.sort(reverse=True)
    ans = nums[0]
    for i in range(1, n):
        cost = i * (nums[i-1] - nums[i])
        if cost <= k:
            ans += i * (nums[i-1] + nums[i]) // 2 * (nums[i-1] - nums[i])
            k -= cost
        else:
            delta = k // i
            ans += i * (nums[i-1] + nums[i]) // 2 * (nums[i-1] - delta)
            ans += (nums[i-1] - delta) * (k % i)
            k -= k
        if k <= 0:
            break
    return ans

时间复杂度

代码中有一个排序操作，时间复杂度为 O(n log n)，后面的遍历操作的时间复杂度为 O(n)，因此总的时间复杂度为 O(n log n)。

空间复杂度

不需要额外的空间，空间复杂度为 O(1)。

参考文献

• LeetCode 题解

• yxc