不能形成总和为 2 的幂的任何对的元素的计数

在程序中，有时可能需要计算一个数组中不能形成总和为 $2^k$ (其中 $k$ 是非负整数) 的任何对的元素数量。本文将介绍一个简单的算法来解决这个问题。

算法思路

我们可以使用一个hash表来记录每个数出现的次数。然后对于任意两个数 $a$ 和 $b$，我们检查它们的和 $a+b$ 是否为 $2^k$。具体来说，我们可以枚举 $k$ 的值，然后检查 $a+b$ 是否为 $2^k$。如果对于所有可能的 $k$ 值，都不存在 $a+b = 2^k$ 的情况，那么这对数目就会被计数。

代码示例

下面是使用 Python 实现上述算法的代码示例：

def count_pairs(nums):
    counts = {}
    for num in nums:
        counts[num] = counts.get(num, 0) + 1

    result = 0
    for a in counts:
        for b in counts:
            if a < b:  # 只考虑无序的配对
                sum_ab = a + b
                k = 0
                while sum_ab > 1:
                    if sum_ab % 2 == 1:
                        break
                    sum_ab //= 2
                    k += 1
                else:  # 如果所有 k 值都被探测，且其中没有 k 使得 2^k == sum_ab
                    result += counts[a] * counts[b]

    return result

代码说明

以上代码首先使用一个字典来记录每个数在数组中出现的次数。然后，对于两个不同的数 $a$ 和 $b$，我们计算它们的和 $a+b$ 是否为 $2^k$。具体来说，我们枚举 $k$ 的值，然后检查 $a+b$ 是否等于 $2^k$。如果对于所有可能的 $k$ 值，都不存在 $a+b = 2^k$ 的情况，那么这对数目就会被累加在计数答案中。注意，以上实现中的两重循环只考虑了无序配对。

总结

本文介绍了如何计算不能形成总和为 $2^k$ 的任何对的元素数量。我们可以使用一个hash表来记录每个数的出现次数，然后使用两重循环来找到所有满足要求的数对。时间复杂度为 $O(n^2 \log W)$，其中 $W$ 表示数组中最大元素的大小。