总和不能被 K 整除的最长可能子数组的计数

在这个问题中，我们需要找到一个数组中最长的子数组，使得它们的和不能被给定的整数 K 整除。

解法

我们将数组中的元素一个一个地相加，并计算它们模 K 后的结果。我们将结果存储在一个数组 mod 中。例如，如果数组 nums 的前 i 个元素的和为 sum，则 mod[i] = sum % K。

为了计算最长的子数组，我们将 mod 数组中的所有元素从左到右遍历一遍。如果我们找到了两个相同的 mod 值 mod[i] 和 mod[j] （i < j） ，那么从第 i 个元素到第 j 个元素的和肯定是 K 的倍数，这个子数组是无用的，我们可以跳过它。

但是，如果我们找到了一个 mod 值 mod[i] ，而且之前没有出现过，我们需要记录其下标 i。然后，我们将其作为当前的“最早出现的” mod 值，并继续遍历 mod 数组。如果我们可以找到另一个 mod 值 mod[j] 等于当前“最早出现的” mod 值，那么我们就知道子数组 mod[j+1] 至 mod[i] 的和不能被 K 整除。我们可以更新最长的无用子数组的长度。

最后，我们返回结果即可。

下面是 Java 的代码实现：

public int subarraysDivByK(int[] nums, int k) {
    int[] mod = new int[nums.length];
    mod[0] = nums[0] % k;
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        mod[i] = (mod[i - 1] + nums[i]) % k;
    }
    int[] count = new int[k];
    count[0] = 1;
    int maxLength = 0;
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        maxLength = Math.max(maxLength, i + 1);
        int c = mod[i];
        if (c < 0) {
            c += k;
        }
        count[c]++;
        if (count[c] > 1) {
            for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
                int d = mod[j];
                if (d < 0) {
                    d += k;
                }
                count[d]--;
                if (d == c) {
                    maxLength = Math.max(maxLength, i - j);
                    break;
                }
            }
        }
    }
    return maxLength;
}

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是输入数组的长度。我们只需要遍历数组 nums 和 mod 一次，所以总时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度为 O(n)，其中 mod 数组和 count 数组均占用了 O(n) 的空间。

总结

该题中我们学习了求解一个数组中最长的无用子数组的方法，它有很多应用，包括最长连续递增子数组，最长连续递减子数组等等。这些问题中寻找无用子数组的技巧往往是相通的。