总和为 N 的 K 个数字的所有可能组合的计数

这是一个常见的问题，通常可以通过递归和回溯来解决。问题可以被视为在 N 个球中选择 K 个球，球是不同的，但是选择的顺序不重要的问题。

递归求解

我们可以定义一个递归函数，如下所示：

def combination_sum(n, k):
    res = []
    def backtrack(start, k, path):
        if k == 0:
            if sum(path) == n:
                res.append(path[:])
            return
        for i in range(start, 10):
            path.append(i)
            backtrack(i+1, k-1, path)
            path.pop()
    backtrack(1, k, [])
    return len(res)

这里的 backtrack 函数代表步进函数，它的参数为 start，表示从哪个数字开始选择；k 表示还需要选择多少个数字；path 表示已经选择的数字。当需要选择 0 个数字时，递归结束。我们只需要统计所有符合要求的 path 的数量，然后返回即可。

这种方法的时间复杂度为 $O(9^k)$，空间复杂度为 $O(k)$。

动态规划求解

还可以使用动态规划的方法解决此问题。我们可以定义一个二维数组 dp[i][j]，其中 i 表示选取 i 个数字，j 表示总和为 j 的方案数。递推式如下：

$$dp[i][j] = \sum_{k=j-9}^{j-1}dp[i-1][k] $$

其中，$dp[i-1][k]$ 表示选取了 i-1 个数字，总和为 k 的方案数。这个递推式的意思是，我们可以从总和为 $j-9$ 至 $j-1$ 中，选取一个数字 $m$，将其与 $i-1$ 个数字的总和加起来，得到 $j$，这样的方案数即为 $dp[i-1][m]$。

最终的结果为 $dp[k][n]$。

这种方法的时间复杂度为 $O(nk)$，空间复杂度为 $O(nk)$。

结语

以上两种方法均可以解决总和为 N 的 K 个数字的所有可能组合的计数问题。其中，递归方法更为简单易懂，但是时间复杂度较高；动态规划方法稍微复杂一些，但时间复杂度较低。根据实际情况选择适合自己的方法即可。