寻找长度为 N 且至少有 3 个连续 1 的二进制字符串的个数

给定一个二进制字符串，要求找出所有长度为 N 且至少有 3 个连续 1 的二进制字符串的个数。

方法

我们可以使用动态规划的方法来解决该问题。设 dp[i] 表示长度为 i 的字符串中至少有 3 个连续 1 的字符串的个数。

则当 i >= 3 时，dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]，这是由于可以在长度为 i-1 的字符串后添加一个 1、在长度为 i-2 的字符串后添加两个 1、或在长度为 i-3 的字符串后添加三个 1 得到新的字符串。

而对于 i < 3，当 i = 0 时，只有一个空字符串；当 i = 1 时，只有一个字符串 0；当 i = 2 时，只有一个字符串 00。

于是，我们可以使用以下代码来实现该算法：

def countBinaryStrings(N: int) -> int:
    if N < 3:
        return 2 ** N
    
    dp = [0] * (N+1)
    dp[0] = 1
    dp[1] = 2
    dp[2] = 2
    
    for i in range(3, N+1):
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]
        
    return dp[N]

示例

我们可以使用以下代码来验证该算法的正确性：

print(countBinaryStrings(4))  # 7
print(countBinaryStrings(5))  # 13
print(countBinaryStrings(6))  # 24

复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(N)$，空间复杂度为 $O(N)$。

总结

该问题可以使用动态规划的方法来解决。通过定义 dp[i] 表示长度为 i 的字符串中至少有 3 个连续 1 的字符串的个数，我们可以得到状态转移方程 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]，从而实现该算法。