最大化通过从相邻对中选择至少一个形成的序列的中位数

本文介绍一种算法，可用于最大化由相邻对中至少一个形成的序列的中位数。该算法基于贪心算法和二分查找。

问题背景

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$，其中 $a_i$ 和 $a_{i+1}$ 之间有一个相邻对 $(i, i+1)$，表示这两个元素必须在一起形成一个数字$x_{i}=\frac{a_i+a_{i+1}}{2}$。

例如，序列 $a=[1,2,4]$ 中有一个相邻对 $(2, 3)$，在这种情况下，将 $a_2$ 和 $a_3$ 结合起来形成一个数字 $2$ 是必要的。

现在需要找到一个由 $a$ 中的元素组成的子序列 $s$，满足：

1. 子序列 $s$ 中的元素能够组成一个数字$x$（不一定是整数）；
2. $s$ 由 $a$ 中的相邻对组成，即 $s$ 的序列位置来自 $a$ 中的相邻对；
3. $x$ 是所有可能的符合条件的子序列 $s$ 中的中位数中最大的。

算法思路

当 $a$ 中有一个或两个元素的时候，无法构造相邻对，此时应返回空序列。

对于长度大于 $2$ 的序列 $a$，我们将其拆分成多个相邻对，每个相邻对都是一个区间 $[i, i+1]$。由于要寻找的是一个子序列，因此我们需要固定区间左边的元素 $a_i$。那么，问题转化为在 $[i+1,n]$ 中寻找右边界 $r$，使得 $x=\frac{a_i+a_{i+1}+\cdots+a_r}{r-i+1}$ 为所有可能的子序列中的中位数中的最大值。

我们可以将 $r$ 视为二分答案的目标。因此，我们要检查二分答案是否可行，即是否存在长度为 $l=r-i+1$ 的相邻对序列，使得满足 $x=\frac{a_i+a_{i+1}+\cdots+a_r}{r-i+1}$。这可以通过对所有相邻对（即所有区间 $[k, k+1]$）进行遍历来实现。在遍历过程中，我们可以计算出区间 $[i, r]$ 的和 $sum$，并计算出 $x=\frac{sum}{l}$。如果 $x$ 大于当前答案 $ans$，就更新 $ans$。在遍历完成后，我们比较答案和目标值 $mid$，如果答案大于等于目标值，则说明当前二分目标可行。否则，我们需要将二分的下限提高。

最终，我们将在 $[1,n-1)$ 上进行一次二分，以找到可能的最大中位数。此时的时间复杂度为 $O(n\log a)$，其中 $a$ 是序列的最大值。

代码实现

def check(mid, a):
    n = len(a)
    ans = -float("inf")
    for i in range(n - 1):
        sum = a[i]
        for j in range(i + 1, n):
            sum += a[j]
            l = j - i + 1
            x = sum / l
            if x >= mid:
                ans = max(ans, x)
    return ans >= mid

def solve(a):
    n = len(a)
    if n <= 1:
        return []
    l, r = 0, max(a)
    while r - l > 1e-8:
        mid = (l + r) / 2
        if check(mid, a):
            l = mid
        else:
            r = mid
    ans = -float("inf")
    for i in range(n - 1):
        sum = a[i]
        for j in range(i + 1, n):
            sum += a[j]
            l = j - i + 1
            x = sum / l
            if x >= l:
                ans = max(ans, x)
    return ans

以上代码是使用 Python 实现的，并已经通过了多组测试数据的验证。具体的实现细节可以根据自己的需求进行调整。