门| GATE CS 2021 |设置 2 |问题 28

本题是2021年GATE计算机科学考试设置2中的问题28。

题目描述

有一个BST（二叉搜索树）根据以下规则构建：

1. 根节点的键值为1。
2. 如果一个节点的键值为x，则它的左子树的根节点的键值为2x，右子树的根节点的键值为2x+1。
3. 如果一个节点的键值大于n，则它不是树中的一部分。

现在给定一个n，让你计算该BST上有多少个节点的键值不超过n。

问题分析

这是一道有趣的树处理问题。一眼可以看出这是一棵二叉搜索树（BST），并且有些节点不会出现，因此可以使用递归的方法求得可以出现的节点数。

假设Node(x)表示以x为根的子树，由题意可得：

• 根节点的值为1，肯定可以出现。
• 如果x<=n，则节点Node(x)是可以出现的，且子树Node(2x)和Node(2x+1)也可能出现。
• 如果x>n，则节点Node(x)不会出现。

因此对于每个节点x，如果x<=n，可以递归计算其左右子树中可以出现的节点数，最后加一即为以x为根的子树中可以出现的节点数。

代码实现

下面是Python实现的代码，时间复杂度为O(logn)：

def countNodes(x, n):
    if x > n:
        return 0
    else:
        return 1 + countNodes(2*x, n) + countNodes(2*x+1, n)

总结

本题是一道典型的BST遍历问题，题目中运用了二叉搜索树的性质，并且设置了一些限制。需要仔细审题，理清思路后再进行编程，代码实现较为简单，适合用递归方法求解。