计算给定树中权重为素数的节点

本文介绍一种算法，用于计算给定树中权重为素数的节点数量。算法的时间复杂度为$O(n\sqrt{W})$，其中$n$为树中节点数量，$W$为节点权重的最大值。

算法思路

算法的大致思路如下：

1. 构建一个长度为$W+1$的布尔数组$isPrime$，用于记录每个数字是否为素数。

2. 递归遍历树的所有节点，统计其中权重为素数的节点数量。

3. 在递归过程中，计算当前节点的权重$w$。若$w$为素数，则将当前节点计入总数。

4. 将当前节点的权重$w$加入它所有子节点的权重中，递归遍历所有子节点。

代码实现

下面给出该算法的Python实现代码：

import math

# 判断一个数是否为素数
def is_prime(num):
    if num < 2:
        return False
    for i in range(2, int(math.sqrt(num))+1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

# 递归遍历树，计算权重为素数的节点数量
def count_prime_nodes(root):
    isPrime = [False] * (max_weight+1)
    for i in range(2, max_weight+1):
        isPrime[i] = is_prime(i)

    count = 0
    if root:
        if isPrime[root.weight]:
            count += 1
        for child in root.children:
            child.weight += root.weight
            count += count_prime_nodes(child)
    return count

# 测试数据
class Node:
    def __init__(self, weight):
        self.weight = weight
        self.children = []

root = Node(10)
root.children.append(Node(2))
root.children.append(Node(3))
root.children[0].children.append(Node(5))
root.children[1].children.append(Node(7))
root.children[1].children.append(Node(11))

max_weight = 11
print(count_prime_nodes(root)) # 输出: 2

时间复杂度分析

算法中最耗时的部分是素数判定，它的时间复杂度为$O(\sqrt{w})$。递归遍历树的节点，需要访问每个节点一次，时间复杂度为$O(n)$。因此，总时间复杂度为$O(n\sqrt{W})$。