计算给定树中权重为完美数的节点

在本文中，我们将讨论如何计算给定树中权重为完美数的节点，并提供相应的代码示例。

理解完美数

首先，我们需要了解什么是完美数。完美数是指其所有真因子之和等于它本身的自然数。例如，6是完美数，因为它的真因子为1、2、3，而它们的和为6。

一个与完美数相关的数学概念是因子分解。对于任意一个自然数n，它可以唯一分解为若干质因数的乘积。例如，6可以分解为2 * 3。我们将这个分解后的结果称为n的质因子分解式。

寻找树中权重为完美数的节点

现在，我们考虑如何计算给定树中权重为完美数的节点。

对于树中的每一个节点，我们可以计算它的权重。一个节点的权重定义为其祖先节点的所有质因子乘积的总和。例如，在下面这棵树中，节点1的权重为2，节点2的权重为2 * 3 = 6，节点3的权重为2 * 5 = 10，节点4的权重为3 * 5 = 15。

     1
   /   \
  2     3
 /       \
4         5

有了节点权重的定义，我们就可以遍历树并找到权重为完美数的节点。具体算法如下：

1. 递归遍历树的每个节点。
2. 对于每个节点，计算其权重，并判断其是否为完美数。
3. 如果该节点的权重是完美数，将其加入结果列表。
4. 最终返回结果列表。

以下是代码实现，其中is_perfect_number()函数用于判断一个数是否为完美数，prime_factors()函数用于计算一个数的所有质因子，node_weight()函数用于计算一个节点的权重。

def is_perfect_number(n):
    factors = prime_factors(n)
    return sum(factors) == n

def prime_factors(n):
    factors = []
    d = 2
    while d * d <= n:
        while (n % d) == 0:
            factors.append(d)
            n //= d
        d += 1
    if n > 1:
        factors.append(n)
    return factors

def node_weight(node):
    if not node.parent:
        return []
    weight = node_weight(node.parent)
    weight.extend(prime_factors(node.value))
    return weight

def find_perfect_number_nodes(root):
    results = []
    if not root:
        return results
    if is_perfect_number(sum(node_weight(root))):
        results.append(root)
    results.extend(find_perfect_number_nodes(root.left))
    results.extend(find_perfect_number_nodes(root.right))
    return results

总结

本文讨论了如何计算给定树中权重为完美数的节点。我们通过定义节点的权重并利用完美数的性质来解决了这个问题。这个算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是树中节点的数量。