计算总和仅由设置位组成的对

在一个给定的整数数组中，如果两个数的二进制表示中仅包含1，那么就认为这是一对“设置位组成的对”，编写程序计算该数组中所有这样的对的总和。

解决方案

对于每个元素，我们可以将其转换为二进制，然后检查其二进制位，如果该位为1且在另一个元素的相应二进制位上也为1，则将其加入对总和中。由于该算法需要枚举所有可能的对，因此时间复杂度为$O(n^2)$。

代码实现

以下是基于Python的实现示例：

def count_ones_pairs(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    ans = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            if bin(nums[i] & nums[j]).count('1') == bin(nums[i]).count('1') == bin(nums[j]).count('1'):
                ans += 1
    return ans

以上代码使用了Python中的位运算符和字符串计数函数count。使用位运算符&可以方便地获取两个二进制数的按位与结果，使用字符串函数count可以方便地统计字符串中出现的特定字符数量。

性能优化

以下是一种优化的方案：

首先可以预处理每个数中包含的1的数目，然后将所有数按其包含的1的数目分类。然后对于每个分类，尝试将其与上一个和下一个分类中的元素进行匹配。在该方案中，我们使用哈希表来存储每个分类中的元素。

具体实现方式如下：

def count_ones_pairs(nums: List[int]) -> int:
    ones = [bin(i).count('1') for i in nums]
    mp = defaultdict(list)
    for i in range(len(nums)):
        mp[ones[i]].append(nums[i])
    ans = 0
    for k, v in mp.items():
        if k < 2:
            continue
        for i in range(len(v)):
            for j in range(i + 1, len(v)):
                if v[i] & v[j] == v[i] ^ v[j]:
                    ans += 1
    return ans

在以上代码中，defaultdict是一个方便的Python内置数据结构，它允许我们轻松地创建默认值为一个空列表的哈希表。当需要添加新元素时，如果该元素的键不存在，则创建一个新列表并将该元素添加到该列表中。

该算法的时间复杂度为$O(n\log n)$。虽然它比最初的算法具有更高的时间复杂度，但在大多数情况下，它的效率更高，因为它避免了枚举所有可能的组合。