计算总和仅由设置位组成的对

问题描述

给定一个正整数列表 nums，请你计算两个元素 x 和 y 的对数，满足它们的总和仅由二进制下的设置位组成。具体而言，两个元素的总和等于一个非负整数的二进制表示中 1 的个数。

解决方案

分析

为了计算这个问题，我们需要两个算法：

1. 计算一个整数的二进制表示中的 1 的个数（也称为汉明重量）。
2. 计算两个整数的汉明距离。

为第一个算法，最简单的方法就是通过位运算 & 和右移操作 >>> 来查找每一位是否为 1。同时，使用一个计数器来记录所有为 1 的位的个数。

public int hammingWeight(int n) {
    int count = 0;
    while (n != 0) {
        count++;
        n &= (n - 1);
    }
    return count;
}

为第二个算法，我们可以先将两个整数异或，然后再计算其汉明距离。

public int hammingDistance(int x, int y) {
    return hammingWeight(x ^ y);
}

至此，我们已经解决了汉明距离的计算。接下来，我们可以按照以下步骤解决问题：

1. 遍历所有的组合，计算它们的和。
2. 将和进行汉明重量的计算，如果只有一个二进制位为 1，则计数器加一。

public int countSetBitsPairs(int[] nums) {
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        for (int j = i+1; j < nums.length; j++) {
            int sum = nums[i] + nums[j];
            if ((sum & (sum - 1)) == 0) { // 判断二进制中是否只有一个位是 1
                count++;
            }
        }
    }
    return count;
}

复杂度分析

这个算法的时间复杂度是 $O(n^2)$，由于要枚举所有的组合。空间复杂度为 $O(1)$，因为没有使用额外的空间。

总结

这个算法的重点在于如何计算二进制表示中 1 的个数和汉明距离。一旦这个问题解决了，就可以通过计算组合并计算汉明重量来解决本题。