题目介绍：“前N个正整数的排列计数，使得任意两个连续数之和为素数”

这道题目要求计算出由前N个正整数排列而成，使得相邻两个正整数之和都是素数的计数数量。下面将给出详细的介绍和解法。

数学理论基础

这道题目涉及到素数，那么首先需要了解一下素数的概念和性质。素数是指只能被1和自身整除的正整数，最小的素数是2，因为所有偶数都能被2整除。

在计算素数方面，有很多常见的算法，比如埃拉托色尼筛法、欧拉筛法等。其中，埃拉托色尼筛法是最简单、最基础的算法之一，它的原理是，将所有数标记为合数，然后枚举素数，将所有能被这个素数整除的数标记为合数，重复直到不能找到新的素数。

除此之外，还有一个重要的概念是质数。质数是指除了1和本身外，不能被其他数整除的数。所有素数都是质数，但不是所有质数都是素数。比如，2和3都是素数，但6是质数而不是素数。

解题思路

对于这道题目，我们可以采用回溯算法来解决。具体的步骤如下：

1. 枚举所有可能的排列情况，这里可以使用DFS的思想，对每一个位置进行穷举，得到所有可能的排列。

2. 在枚举排列的时候，需要判断相邻两个数之和是否为素数。这里可以采用质数的判断算法，判断每一组相邻数之和是否为素数。

3. 对于符合条件的排列，统计数量即可。

代码实现

下面是解题的核心代码，实现了DFS算法，以及判断相邻数之和是否为素数的算法。

def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n**0.5)+1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def dfs(nums, l, r, res):
    if l == r:
        res.append(1)
        return
    for i in range(l, r):
        nums[i], nums[l] = nums[l], nums[i]
        if l == 0 or is_prime(nums[l] + nums[l-1]):
            dfs(nums, l+1, r, res)
        nums[i], nums[l] = nums[l], nums[i]

def count_permutations(n):
    nums = [i+1 for i in range(n)]
    res = []
    dfs(nums, 0, n, res)
    return len(res)

总结

本题是一道比较有趣的数学算法题目，需要对素数有比较深入的理解。通过采用回溯算法，我们可以穷举出所有符合要求的排列，进而求得排列的数量。在实际应用中，素数有很多重要的应用，比如加密算法、图形分析等。因此，对素数的研究和应用具有重要的意义。