计算乘积包含单个不同质因子的对

介绍

在数学中，我们可以把一个数分解成若干个质数的积，这些质数被称为其质因子，而且不存在两组分解方式，使得它们的质因子完全相同。那么，如果一个乘积中只包含一个不同的质因子，如何寻找符合条件的数对，并计算它们的个数呢？本文将分别介绍两种常见的求解方法。

方法1：枚举质因子

一个数的质因子可以通过试除法，枚举小于或等于该数的正整数，判断是否能够整除得到。因此，我们可以枚举该乘积的唯一质因子，计算满足条件的数对个数。

def count_pairs(n):
    count = 0
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            factor = n // i
            if factor != i:
                count += 2
            else:
                count += 1
    return count

该函数的参数n为需要计算的乘积。它首先枚举小于或等于该乘积平方根的质因子i，通过除法得到另一个质因子factor。如果两个质因子相等，则只有一组满足条件的数对；否则，有两组满足条件的数对。最终，该函数返回满足条件的数对个数。

方法2：分解质因数

除了枚举质因子，我们还可以利用分解质因数的方法，将该乘积分解成若干个质数的积。如果该乘积只包含一个不同的质因子，那么它的分解结果中应该只有一个质数。

def prime_factorization(n):
    """
    返回一个列表，包含n的所有质因子
    """
    factors = []
    while n % 2 == 0:
        factors.append(2)
        n //= 2
    for i in range(3, int(n ** 0.5) + 1, 2):
        while n % i == 0:
            factors.append(i)
            n //= i
    if n > 2:
        factors.append(n)
    return factors


def count_pairs(n):
    factors = prime_factorization(n)
    if len(set(factors)) == 1:
        count = factors.count(factors[0]) * (factors.count(factors[0]) - 1) // 2
    else:
        count = 0
    return count

该函数首先调用prime_factorization函数，将该乘积分解成若干个质数的积，并保存于一个列表中。如果该列表中只包含一个质数，那么最终计算满足条件的数对个数时，只需要对该质数出现的次数进行组合即可，即$C_{count}^2$。否则，计数器count初始值为0，最终返回0。

结论

以上两种方法在时间复杂度和空间复杂度上并无明显优劣。在实际应用中，使用哪种方法取决于具体问题的特征和个人偏好。