按其乘法持久性的递增顺序对数组进行排序

乘法持久性指的是一种数据结构操作，在该操作中，每个版本的数据都保留了其之前版本的所有内容，且每个版本的更新或查询时间复杂度为 $O(\log n)$ 或更低。

按其乘法持久性的递增顺序对数组进行排序，意味着需要利用乘法持久性，对数组进行排序，并按照版本递增的顺序输出排好序的数组版本。

以下是一种使用乘法持久化数组和归并排序实现的示例：

class PersistentArray:
    def __init__(self, arr):
        self.arr = [arr]
        self.n = len(arr)
    
    def set(self, i, val):
        curr = list(self.arr[-1])
        curr[i] = val
        self.arr.append(curr)
    
    def get(self, i, version):
        return self.arr[version][i]
    
    def merge(self, left, right):
        res = []
        i = j = 0
        while i < len(left) and j < len(right):
            if left[i] < right[j]:
                res.append(left[i])
                i += 1
            else:
                res.append(right[j])
                j += 1
        res += left[i:]
        res += right[j:]
        return res
    
    def sort(self):
        versions = []
        for i in range(self.n):
            versions.append(self.arr[-1][i])
        
        v = []
        for i in range(self.n):
            v.append(PersistentArray(versions))
        
        for i in range(self.n):
            v[0].set(i, versions[i])
        
        for i in range(1, self.n):
            for j in range(self.n):
                v[i].set(j, v[i-1].get(j, i-1))
            v[i] = self.sort_helper(v[i])
        
        return v
    
    def sort_helper(self, arr):
        if len(arr) < 2:
            return arr
        mid = len(arr) // 2
        left = self.sort_helper(arr[:mid])
        right = self.sort_helper(arr[mid:])
        return self.merge(left, right)

arr = [3,6,1,9,3,7,2]
p_arr = PersistentArray(arr)
versions = p_arr.sort()

for i, version in enumerate(versions):
    print(f"Version {i}: {[version.get(j, i) for j in range(len(arr))]}")

这里定义了一个 PersistentArray 类，用于实现乘法持久化数组。其中，set 方法用于在新版本中更新元素，get 方法用于从某个版本中获取元素。

在本示例中，sort 方法按照归并排序的方法对数组进行排序，并生成出每个版本的排序结果。sort_helper 方法用于辅助执行归并排序。

最后，对于每个版本，可以通过 version.get(j, i) 获取排序结果中某个位置的元素，并按照版本递增的顺序输出排好序的数组版本。

总结

本示例中，通过利用乘法持久化数组和归并排序算法，实现了按其乘法持久性的递增顺序对数组进行排序。此方法适用于需要保留数据历史版本的场景，并且每个版本的更新和查询时间复杂度都能够控制在 $O(\log n)$ 或更低。