检查是否存在从给定单元格到矩阵的任何边界元素且元素总和不超过 K 的路径

介绍

在给定的矩阵中，从一个起始单元格出发，判断是否存在一条路径，使得路径上的元素总和不超过给定的 K 值，并且路径可以到达矩阵的任何边界元素。

这是一道比较经典的图论问题，算法可以采用深度优先搜索（DFS）或者广度优先搜索（BFS）。

解法

将问题转化，从起点开始，每次向四个方向扩展，如果扩展到边界，那么该路径符合条件。遍历过程中维护一个变量记录路径的总和。可以使用递归实现DFS，或者使用队列实现BFS。

代码片段（Python版DFS）：

def dfs(matrix, i, j, visited, K, sum):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    if i < 0 or i >= m or j < 0 or j >= n:
        # 达到边界
        return True if sum <= K else False
    if visited[i][j] or sum + matrix[i][j] > K:
        # 已经访问过或者总和超过了K
        return False
    visited[i][j] = True # 标记为已访问
    res = dfs(matrix, i + 1, j, visited, K, sum + matrix[i][j]) or \
          dfs(matrix, i - 1, j, visited, K, sum + matrix[i][j]) or \
          dfs(matrix, i, j + 1, visited, K, sum + matrix[i][j]) or \
          dfs(matrix, i, j - 1, visited, K, sum + matrix[i][j])
    visited[i][j] = False # 标记为未访问
    return res


def check_path(matrix, K):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    visited = [[False] * n for _ in range(m)] # 初始化visited矩阵
    # 从四个边界开始检查
    for i in range(m):
        if dfs(matrix, i, 0, visited, K, 0):
            return True
        if dfs(matrix, i, n - 1, visited, K, 0):
            return True
    for j in range(n):
        if dfs(matrix, 0, j, visited, K, 0):
            return True
        if dfs(matrix, m - 1, j, visited, K, 0):
            return True
    return False

代码片段（Python版BFS）：

def check_path(matrix, K):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    visited = [[False] * n for _ in range(m)] # 初始化visited矩阵
    # 从四个边界开始检查
    queue = deque([(i, j, matrix[i][j]) for i in range(m) for j in range(n) 
                   if (i==0 or i==m-1 or j==0 or j==n-1)])
    # BFS遍历
    while queue:
        i, j, sum = queue.popleft()
        if sum > K:
            continue
        if i < 0 or i >= m or j < 0 or j >= n:
            # 达到边界
            return True
        if visited[i][j]:
            continue
        visited[i][j] = True # 标记为已访问
        queue.append((i + 1, j, sum + matrix[i+1][j]))
        queue.append((i - 1, j, sum + matrix[i-1][j]))
        queue.append((i, j + 1, sum + matrix[i][j+1]))
        queue.append((i, j - 1, sum + matrix[i][j-1]))
    return False

总结

本文介绍了一道比较经典的图论问题，实现了两种算法（DFS和BFS），可以帮助读者更好地理解和掌握算法思路。在实际问题中，类似的图论问题有很多，对于学习和掌握算法思想和数据结构有很好的帮助。