检查矩阵是否包含以0为边界元素的正方形子矩阵

问题描述

给定一个由 0 和 1 组成的矩阵 matrix，找出一个最大的只包含 0 的正方形子矩阵，并返回其中元素数量。

解决方法

1. 暴力枚举

我们可以暴力枚举每个起点，然后向右、向下扩展，检查是否存在只包含 0 的正方形子矩阵。

时间复杂度：O(n^4)

def maximalSquare(matrix) -> int:
    row = len(matrix)  # 行数
    col = len(matrix[0])  # 列数
    max_len = 0  # 记录最大正方形的边长

    # 枚举起点
    for i in range(row):
        for j in range(col):
            if matrix[i][j] == '1':  # 跳过不是 0 的位置
                continue
            # 扩展正方形的右边和下边
            length = 1
            flag = True  # 标记是否存在包含 1 的位置
            while i + length < row and j + length < col and flag:
                for k in range(i, i + length + 1):
                    if matrix[k][j + length] == '1':
                        flag = False
                        break
                for k in range(j, j + length + 1):
                    if matrix[i + length][k] == '1':
                        flag = False
                        break
                if flag:  # 可以扩展正方形
                    length += 1
            max_len = max(max_len, length)  # 更新最大边长

    return max_len ** 2

2. 动态规划

我们可以用一个 dp 数组来记录包含 i，j 位置的正方形的最大边长。

状态转移方程：

• 如果 matrix[i][j] == 1，那么 dp[i][j] = 0
• 否则，dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1

时间复杂度：O(n^2)

def maximalSquare(matrix) -> int:
    row = len(matrix)
    col = len(matrix[0])
    dp = [[0] * (col + 1) for _ in range(row + 1)]  # dp 表格

    max_len = 0  # 记录最大正方形的边长
    for i in range(1, row + 1):
        for j in range(1, col + 1):
            if matrix[i - 1][j - 1] == '1':  # 跳过不是 0 的位置
                continue
            dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1  # 计算 dp 值
            max_len = max(max_len, dp[i][j])  # 更新最大边长

    return max_len ** 2

总结

本题可以用暴力枚举和动态规划两种方法解决。暴力枚举的时间复杂度较高，但思路简单易懂，而动态规划的时间复杂度较低，但需要理解状态转移方程。