检查矩阵是否包含以0为边界元素的正方形子矩阵

在矩阵相关的算法中，经常需要判断矩阵中是否包含一些规律的子矩阵。本篇文章介绍如何判断一个矩阵是否包含以0为边界元素的正方形子矩阵。

问题描述

给定一个只包含0和1的二维矩阵，编写一个算法检查其中是否包含一个以0为边界元素的正方形子矩阵。例如，下图中的矩阵中包含一个以0为边界元素的2x2的正方形子矩阵。

0 0 0 1
1 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 1

算法思路

暴力破解

暴力破解的思路是，枚举所有可能的正方形子矩阵，检查是否满足以0为边界元素的条件。因为需要枚举的正方形子矩阵数量为矩阵中点的个数的平方，时间复杂度为 $O(n^4)$，不是一个高效的算法。

动态规划

动态规划的思路是，用一个辅助的数组 $dp$ 来记录每个点左上方的连续0的个数，以及每个点上方和左边的连续0的个数。对于每一个正方形子矩阵，如果其中每一行和每一列都有至少一个点的连续0个数大于等于正方形的边长，则该子矩阵中必定包含以0为边界元素的正方形子矩阵。时间复杂度为 $O(n^3)$。

递推

递推的思路是，用一个辅助的数组 $dp$ 来记录每个点往右和往下连续0的个数。对于每一个正方形子矩阵，如果其中每个点的右下、右上和左下位置的连续0个数都大于等于正方形的边长，则该子矩阵中必定包含以0为边界元素的正方形子矩阵。时间复杂度为 $O(n^2)$。

代码实现

动态规划

def contains_square_matrix(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[[0, 0] for j in range(n + 1)] for i in range(m + 1)]
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if matrix[i - 1][j - 1] == 0:
                dp[i][j][0] = dp[i][j - 1][0] + 1
                dp[i][j][1] = dp[i - 1][j][1] + 1
    for k in range(2, min(m, n) + 1):
        for i in range(k, m + 1):
            for j in range(k, n + 1):
                if dp[i][j - k + 1][0] >= k and dp[i - k + 1][j][1] >= k and \
                   dp[i][j][0] >= k and dp[i][j][1] >= k:
                    return True
    return False

递推

def contains_square_matrix(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 0:
                dp[i][j] = (dp[i - 1][j] + 1) if i > 0 else 1
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 0:
                dp[i][j] = min(dp[i][j], (dp[i][j - 1] + 1) if j > 0 else 1)
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if dp[i][j] >= 2:
                for k in range(2, dp[i][j] + 1):
                    if i + k <= m and j + k <= n:
                        if dp[i + k - 1][j] >= k and dp[i][j + k - 1] >= k and \
                           dp[i + k - 1][j + k - 1] >= k:
                            return True
    return False

总结

本篇文章介绍了如何判断一个矩阵是否包含以0为边界元素的正方形子矩阵，介绍了两种高效的算法：动态规划和递推。对于一个 $m \times n$ 的矩阵，这两种算法的时间复杂度都为 $O(m \cdot n^2)$。实际使用时，因为递推算法的常数因子要小于动态规划算法，因此效率可能更高。