求x和y的最小值，使得ax – by = 0

要求ax - by = 0时，x和y的最小整数解。

思路

从小到大枚举x，计算出对应的y值，判断ax - by是否等于0，若等于0则为一个解，继续枚举下一个x值。如果ax - by不等于0，则需要调整y的值，使得ax-by的绝对值尽可能小。

具体地，设a和b的最大公约数为gcd，则a和b可以表示为a=gcd * a1，b=gcd * b1，其中a1和b1互质。所以ax-by=gcd*(a1x-b1y)。

此时，只需让a1x-b1y=1，便可以得到x和y的最小解，同时也是方程的一个解。

代码

def solve(a, b):
    """
    求解ax - by = 0时，x和y的最小整数解。
    :param a: 整数a
    :param b: 整数b
    :return: (x, y) 其中ax - by = 0
    """
    gcd, x0, y0 = exgcd(a, -b)
    if gcd != 1:
        raise ValueError('无解')
    return x0, -y0

def exgcd(a, b):
    """
    扩展欧几里得算法，同时求出x和y的最小整数解。
    :param a: 整数a
    :param b: 整数b
    :return: (gcd, x, y) 其中ax + by = gcd(a, b)
    """
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    gcd, x, y = exgcd(b, a % b)
    return gcd, y, x - a // b * y

其中exgcd函数是求解扩展欧几里得算法的函数，具体实现可以参考 链接。

性能

该算法的时间复杂度为O(log(max(a, b)))，其空间复杂度为O(1)。