给定容量的K背包中最多可以填满的物品

K背包是一种多重背包的扩展，即每种物品不再只有一个，而是有K个。在该问题中，需要在给定的容量下尽可能多地填充物品。

解题思路

本问题可以使用动态规划的思路解决，使用一个二维数组dp[i][j]表示前i个物品在背包容量为j的情况下最多可以填充的数量。状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*weights[i]] + k for k in range(min(j//weights[i], K)+1))

其中，weights[i]为第i个物品的重量，K为每种物品的个数。对于第i个物品，可以选择放入0至K个，容量为j时可以尝试放入0至j//weights[i]个，选择放入数量为k时转移方程使用dp[i-1][j-k*weights[i]]即可。

最后，dp[n][capacity]即为所求。

代码实现

def kKnapsack(capacity, weights, K):
    n = len(weights)
    dp = [[0] * (capacity+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, capacity+1):
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*weights[i-1]] + k for k in range(min(j//weights[i-1], K)+1))
    return dp[n][capacity]

示例

weights = [2, 3, 4, 5]
K = 2
capacity = 10
print(kKnapsack(capacity, weights, K))  # 4

复杂度分析

本算法使用了二维数组进行动态规划，时间复杂度为$O(nCK)$，空间复杂度为$O(nC)$，其中$n$为物品个数，$C$为背包容量，$K$为每种物品的个数。