给定容量的 K 个背包中最多可装入的物品

介绍

在背包问题中，我们已经学习了如何解决一般的 0/1 背包问题。但是，在实际中还有一种背包问题，即给定容量的 K 个背包中最多可装入的物品。

在这个问题中，给定一些物品和 K 个背包，每个背包都有一定的容量。要求将这些物品分配给这些背包，使得所有物品都被分配到，且每个背包中的物品总量不能超过该背包的容量限制。

本题的难点在于分配的过程中，需要考虑到每个背包的容量，以及如何使分配的结果最大化。

解决方案

可以将这个问题转化为一个 0/1 背包问题。具体地，我们可以从前往后考虑每个物品的放置方案，用一个二维数组 dp[i][j] 表示考虑前 i 个物品，装入 K 个背包的总容量为 j 时的最大价值。

对于每个物品 i，我们依次考虑将其放入第 1~K 个背包中。如果放入第 k 个背包中，则转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-w[i][k]] + v[i][k])

其中 $w[i][k]$ 和 $v[i][k]$ 分别表示第 k 个背包中放入物品 i 的重量和价值。

也就是说，我们需要在考虑第 i 个物品放入第 k 个背包时，将总价值最大的情况存起来。最终的答案即为 dp[n][V]，表示前 n 个物品装入 k 个背包中的总容量为 V 时的最大价值。

代码片段

def k_pack(n, V, K, w, v):
    """
    给定容量的 K 个背包中最多可装入的物品

    Args:
        n: 物品数量
        V: 背包容量
        K: 背包数量
        w: 物品重量，二维列表，第一维表示物品编号，第二维表示背包编号
        v: 物品价值，二维列表，第一维表示物品编号，第二维表示背包编号

    Returns:
        最大价值
    """
    dp = [[0] * (V+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(V, 0, -1):
            for k in range(1, K+1):
                if j >= w[i-1][k-1]:
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-w[i-1][k-1]] + v[i-1][k-1])
    return dp[n][V]

代码片段返回markdown格式：

```python
def k_pack(n, V, K, w, v):
    """
    给定容量的 K 个背包中最多可装入的物品

    Args:
        n: 物品数量
        V: 背包容量
        K: 背包数量
        w: 物品重量，二维列表，第一维表示物品编号，第二维表示背包编号
        v: 物品价值，二维列表，第一维表示物品编号，第二维表示背包编号

    Returns:
        最大价值
    """
    dp = [[0] * (V+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(V, 0, -1):
            for k in range(1, K+1):
                if j >= w[i-1][k-1]:
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-w[i-1][k-1]] + v[i-1][k-1])
    return dp[n][V]
```

总结

给定容量的 K 个背包中最多可装入的物品问题是一个比较典型的动态规划问题，可以通过将其转化为多重背包问题来解决。需要注意的是，转移方程的实现需要注意数组下标的对齐和取值范围的控制。