给定密钥的唯一 BST 数量 | 动态规划

问题描述

给定整数n，表示BST（二叉搜索树）中节点的数量。您的任务是查找包含这些密钥的唯一BST的数量。

解决方法

动态规划

动态规划是一种解决问题的策略。它通常包括以下步骤：

1. 定义子问题
2. 设计递归关系
3. 识别和解决重叠子问题
4. 计算顺序

对于这个问题，我们可以采用以下步骤：

1. 定义子问题：计算bst [1 ... i]的数量，其中i是1个至n的整数。
2. 设计递归关系：考虑一个节点j作为根节点的情况。令左子树中的节点数为i-1，右子树中的节点数为n-i。如果我们知道bst [1 ... i-1]的数量和bst [i + 1 ... n]的数量，那么它可能的BST的总数为其乘积。于是定义我们的递归方程：BST（i）= BST（1 ... i-1）* BST（i + 1 ... n）。
3. 识别和解决重叠子问题：当i = 2时，BST（2）= BST（1）* BST（1）;而当i = 3时，BST（3）= BST（1）* BST（2）+ BST（2）* BST（1）;可以看到，BST（1）是多次计算的。 因此，我们可以使用数组来保存这些结果，以避免重复计算。
4. 计算顺序：我们可以按顺序从1到n计算数组中所有可能的bst。

因此，Java代码如下：

public int numTrees(int n) {
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
        }
    }
    return dp[n];
}

复杂度分析

时间复杂度：O（n ^ 2）。

空间复杂度：O（n）。

结论

使用动态规划算法，我们可以以O（n ^ 2）时间复杂度和O（n）空间复杂度的方式解决给定密钥的唯一BST数量问题。