树上的动态规划 | 组 1

介绍

树上的动态规划是指在树这种数据结构上应用动态规划算法，用来解决一些与树相关的问题。在解决树上问题时，动态规划算法的思想非常实用，因为它可以将树上的问题转化为一个更小的子问题，通过分析子问题的解来解决整个问题。

基本思想

树上的动态规划算法的基本思想是将树上的问题转化为由子树的问题进行递归求解。因为问题本身有树的结构，所以我们可以找到一些与子树有关的信息来处理问题。具体来说，我们可以定义一个状态数组和状态转移方程，通过递归求解状态数组来得到最终的解。

代码示例

下面是一个树上动态规划的代码示例：

int dfs(int u) {
    int ans = 0;
    for(int v : tree[u]) {
        ans += dfs(v);
    }
    dp[u] = ans + val[u]; //状态转移方程
    return dp[u];
}

在这个示例中，我们定义了一个状态数组 dp，表示以当前节点为根的子树的最优解。我们通过递归调用 dfs 函数来遍历子树，并计算子树的解。在计算当前节点的状态时，我们通过状态转移方程 dp[u] = ans + val[u] 计算出当前节点的最优解，其中 ans 是所有子节点的最优解之和，val[u] 表示当前节点本身的权值。

应用举例

树上的动态规划可以应用在很多问题中，例如最长路径、最大匹配、最小覆盖等。这里举一个简单的例子：计算二叉树的最大路径和。

给定一个二叉树，求其最大路径和，而该路径可以不必经过根节点。

     1
    / \
   2   3

对于上述树，其最大路径和为 6，即路径 (2 -> 1 -> 3)。

我们可以使用以下伪代码来进行动态规划求解：

int maxPath(TreeNode* root) {
    int res = INT_MIN;
    dfs(root, res);
    return res;
}

int dfs(TreeNode* root, int& res) {
    if(!root) return 0;
    int left = max(0, dfs(root->left, res));
    int right = max(0, dfs(root->right, res));
    res = max(res, left + right + root->val);
    return max(left, right) + root->val;
}

在这个伪代码中，我们定义了一个 dfs 函数来进行递归遍历树，并计算当前节点的最大路径和。在计算最大路径和的过程中，我们需要计算当前节点左右子树的最大路径和，并将其与当前节点的权值相加。最后，我们将计算出的值与当前最大路径和进行比较，并更新最大路径和。

总结

在树上的动态规划算法中，关键是找到合适的状态数组和状态转移方程，然后通过递归遍历树的方式来解决问题。通过这种方法，我们可以高效地解决与树相关的问题，如最长路径、最大匹配、最小覆盖等。