树上的动态编程套装2

树是一种非常常见的数据结构，很多问题都可以转化为在树上的动态规划问题。而树上的动态编程套装2是一系列的算法和技巧，用于解决树上的动态规划问题。

利用树的性质

在树上进行动态规划时，我们可以利用树的性质来求解子问题。

以二叉树为例，可以定义状态 f[u] 表示以节点 u 为根的子树中的最优解。当我们要计算解以节点 u 为根的树的解时，只需要计算左子树的最优解和右子树的最优解，再利用这两个状态计算出 f[u]，即 f[u] = g(f[lson[u]], f[rson[u]])，其中 g 是根据题目特定的操作得出的函数。

同样地，我们也可以利用度数等树的性质来进行状态的定义和计算。

点分治

点分治是一种分治算法，用于解决树上的动态规划问题。

用点分治求解树上的最小直径问题，我们首先任选一个节点作为根节点，将树划分为多个子树。对于每个子树，我们可以通过递归的方式求出子树内部的最优解。接下来，我们需要合并各个子树的最优解，计算出以当前节点为最小直径的解，然后返回给父节点。

点分治的时间复杂度为 $O(n\log n)$，在一些有些情形下，点分治的常数效率比较优秀。

树上差分

树上差分是一种用于树上区间修改和单点查询的算法。

树上差分通过差分数组的方式，将区间修改转化为单点修改。我们可以从根节点开始深度优先遍历每一个节点，对于每个节点，计算差分值 delta[u]，表示从节点 u 的父节点到节点 u 的值的变化量。这个变化量可以通过当前节点的值和父节点的值计算出来。

当进行区间修改时，我们只需要对区间的左右端点进行单点修改，即 delta[l] += v 和 delta[r+1] -= v。当进行单点查询时，我们需要同时维护前缀和 sum[u]，表示从根节点到节点 u 的路径上的所有差分值的和。查询时，我们可以利用差分的方式，得到节点 u 的值：val[u] = sum[u] + delta[u]。

树上差分的时间复杂度为 $O(n)$。

树状数组优化树上差分

树状数组优化树上差分是一种时间复杂度更优的树上区间修改和单点查询算法。

树状数组优化树上差分的思路和树上差分是类似的，只不过它对差分数组进行了优化。我们可以利用树状数组维护差分数组，并实现 $O(\log n)$ 的单点修改和前缀和查询操作。这样，我们就可以通过树状数组来进行树上区间修改和单点查询了。

树状数组优化树上差分的时间复杂度为 $O(n\log n)$。

反证法化树为链

反证法化树为链是一种解决树上动态规划问题的技巧。

在进行树上动态规划时，我们可以通过反证法将树化为链。假设我们要求解一棵树的最大独立集，即在树中选择尽可能多的节点，使得它们没有共同的边。我们可以从叶子节点开始，往上递推。对于当前节点 u，考虑两种情况：

• 选择节点 u。则其儿子节点不能选，即我们需要跳过儿子节点，并计算孙子节点的最大独立集。
• 不选择节点 u。则我们需要计算儿子节点的最大独立集。

可以看出，这两种情况只涉及到当前节点 u 的子树上的节点。因此，我们可以通过遍历所有叶子节点，将树化为链，然后使用类似区间 DP 的方法，计算链上的最大独立集。

反证法化树为链的时间复杂度为 $O(n)$。

总结

树上的动态编程套装2是一系列的算法和技巧，用于解决树上的动态规划问题。这些工具包括利用树的性质，点分治，树上差分，树状数组优化树上差分，反证法化树为链等。根据具体问题的需求，我们可以选择不同的算法和技巧来求解。