让 N 人通过给定隧道的最低成本

在某些场景下，需要让 N 人通过给定隧道的最低成本。这个问题可以用图论中的最小生成树算法来解决。

最小生成树算法

最小生成树算法是指在一个加权连通图中，生成一棵权值最小的生成树。常用的算法有：

• Kruskal 算法：按照边权值递增的顺序，将边依次加入生成树，若加入该边之后出现了环，则舍弃该边。时间复杂度为 O(ElogE)，其中 E 为边数。适用于稀疏图。
• Prim 算法：从一个任意顶点开始，每次选择一条跨越已经确定节点集合与未确定节点集合的边，且该边的权值最小，将对应的未知节点加入到已确定的节点集合中。时间复杂度为 O(ElogV)，其中 E 为边数，V 为顶点数。适用于稠密图。

解决方案

这个问题可以通过 Kruskal 算法来解决。首先需要将隧道的连接关系抽象成一个加权无向图，边权值为通过这条隧道需要的成本。然后使用 Kruskal 算法求解该图的最小生成树。

得到最小生成树后，就可以按照树的遍历顺序依次判断每条隧道是否在该树中，如果在则计算该隧道的成本，直到 N 个人通过为止。

代码实现

class UnionFind:
    def __init__(self, size):
        self.parent = list(range(size))
        
    def find(self, x):
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]
    
    def union(self, x, y):
        root_x, root_y = self.find(x), self.find(y)
        if root_x != root_y:
            self.parent[root_x] = root_y

def min_cost_for_n_people(costs, n):
    # 定义边的集合
    edges = []
    for i in range(len(costs) - 1):
        for j in range(i + 1, len(costs)):
            edges.append((i, j, costs[i][j]))
    # 按照边权值排序
    edges.sort(key=lambda x: x[2])
    
    # 初始化 Union Find
    uf = UnionFind(len(costs))
    
    # 初始化已通过的人数和最小成本
    passed_people = 0
    min_cost = 0
    
    # Kruskal 算法求解最小生成树
    for edge in edges:
        if uf.find(edge[0]) != uf.find(edge[1]):
            uf.union(edge[0], edge[1])
            min_cost += edge[2]
            passed_people += 2
            if passed_people >= n:
                break
    
    return min_cost

总结

通过使用图论中的最小生成树算法，可以解决让 N 人通过给定隧道的最低成本问题。具体实现中，可以选择 Kruskal 算法或 Prim 算法。